Question

两个收益率变动完全负相关的证券A、证券B，如果它们的预期收益率分别为10％和20％，标准差分别为？

两个收益率变动完全负相关的证券A、证券B，如果它们的预期收益率分别为10％和20％，标准差分别为10％和20％，则最小方差投资组合的预期收益率是多少

Answer 1

要求最小方差投资组合，就需要解决如下最小化问题：

min Σ(Rp - R)^2

其中 Rp 是投资组合的预期收益率，R 是给定的预期收益率，Σ表示求和。这个式子表示要使投资组合的预期收益率尽量接近给定的预期收益率。

由于证券 A 和证券 B 收益率变动完全负相关，所以可以将它们的方差相加得到总方差。两个证别的方差分别为10%和20%，所以总方差为30%。

解决这个最小化问题的常用方法是使用拉格朗日乘数法。这里我们假设投资组合中有 x 的资金投入到证券 A 中，剩余的 (1-x) 的资金投入到证券 B 中。
则有：
Σ(Rp - R)^2 = (0.1x + 0.2(1-x) - R)^2

展开得：

0.01x^2 + 0.04x - 0.2Rx + 0.04 - 0.4R + R^2

由于要最小化这个式子，所以要将导数设为0。
得到：

2 * 0.01x - 0.2R + 0.04 = 0

解得 x = (0.2R - 0.04) / 0.02 = 0.3R - 0.2

所以投资组合中 x 的预期收益率为 0.3R - 0.2。