Question

已知数列{an}的首项是a1=1，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+3n+1（n∈N*）．？

Answer 1

解题思路：（1））∵S n+1=2S n+3n+1，∴当n≥2时，S n=2S n-1+3（n-1）+1，两式相减得a n+1=2a n+3，从而b n+1=a n+1+3=2（a n+3）=2b n（n≥2），由此可以导出数列{b n}的通项公式．
（2）由题意知c n=log 2b n=log 24×2 n-1=log 22 n+1，再用均值不等式进行求解．
（1）∵Sn+1=2Sn+3n+1，
∴当n≥2时，Sn=2Sn-1+3（n-1）+1，两式相减得an+1=2an+3，从而bn+1=an+1+3=2（an+3）=2bn（n≥2），
∵S2=2S1+3+1，
∴a2=a1+4=5，可知b2≠0．
∴bn≠0

(n≥2)．
∴
bn+1
bn＝2(n≥2)，又
b2
b1＝
a2+3
a1+3＝
8
4＝2．
∴数列{bn}是公比为2，首项为4的等比数列，
因此bn=4•2n-1=2n+1（n∈N*）
（2）据（1）=log2bn=log24×2n-1=log22n+1=n+1
−1
(n+25)＝
n+1−1
(n+25)(n+1)＝
n
(n+25)(n+1)=[1
n+
25/n+26]≤
1
2×5+26＝
1
36，（当且仅当n=5时取等号）．
故不等式k≥
−1
(n+25)(n∈N*)恒成立，⇔k≥
1
36．
,6,已知数列{a n}的首项是a 1=1，前n项和为S n，且S n+1=2S n+3n+1（n∈N *）．
（1）设b n=a n+3（n∈N *），求数列{b n}的通项公式；
（2）设c n=log 2b n，若存在常数k，使不等式 k≥ c n −1 (n+25) c n (n∈ N * ) 恒成立，求k的最小值．