罗尔定理是什么意思?

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求知若渴207
2023-01-24 · TA获得超过129个赞
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一:罗尔定理:如果函数f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续(其中a不等于b);(2)在开区间(a,b)内可导;(3)在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),

  那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b),使得 f'(ξ)=0.

  罗尔定理是以法国数学家罗尔的名字命名的。

几何意义

  罗尔定理的三个已知条件的几何意义是:f(x)在[a,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线;f(x)在内(a,b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在;f(a)=f(b)表明曲线的割线(直线AB)平行于x轴.罗尔定理的结论的直观意义是:在(a,b)内至少能找到一点ξ,使f'(ξ)=0,表明曲线上至少有一点的切线斜率为0,从而切线平行于割线AB,也就平行于x轴.

二:罗尔定理可以直观的理解为,如果一个可导的函数,两个端点值是一样的话,那肯定有个中间值是导数为0的。直观理解就是函数图像要先上升(下降)再下降(上升)回到原来的值,那中间有个地方肯定是比较平坦(不是很严格,直观想象)的。拉格朗日是两个端点值不一样,中间有个值能达到。证明的思想是构造函数,把斜的化成平的(直观想象)。

三:罗尔中值定理: 

设函数 f(x)在区间[a,b]上有定义,如果 

(1)函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续; 

(2)函数 f(x)在开区间(a,b)内可导; 

(3)函数 f(x)在区间两端点处的函数值相等,即 f(a)= f(b) 

则在(a,b)内至少存在一个点 a<ξ <b,使得 f '(ξ)=0 . 

罗尔定理的几何解释: 

当曲线方程满足罗尔定理的要求时,在区间内至少存在一点使得该点的切线的斜率为零,换句话说,该点的切线平行于 x 轴. 

[例题] 不用求出函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的导数,说明方程 f (x)=0 有几个实根,并指出它们所在的区间。 

解:由于函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) 在整个实数轴上连续、可导,并且 f(1)= f(2)=f(3)=f(4)= f(5)=0,分别在区间 (1,2), (2,3), (3,4), (4,5) 内应用罗尔定理,可得方程 f (x)=0 至少有4个实根,但由于f (x)是一个4次多项式,至多有4个实根,因此,方程 f (x)=0 只有4个实根,并且分别位于区间 (1,2), (2,3), (3,4), (4,5) 内。

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