Question

计算二重积分xydo,其中D是由y=2,y=x及y=2x所围成的闭区域？

Answer 1

问：计算二重积分xydo,其中D是由y=2,y=x及y=2x所围成的闭区域？

答：您好，计算二重积分xydo，其中D是由y=2,y=x及y=2x所围成的闭区域，可以用积分变换法来计算。首先，将D区域投影到xOy平面上，得到一个三角形区域，其顶点分别为（0，0），（1，2），（2，4）。接下来，将该三角形区域投影到uOv平面上，得到一个矩形区域，其顶点分别为（0，0），（2，0），（2，2），（0，2）。最后，用积分变换法，将二重积分xydo转化为积分uvdv，其中dv=xdy，即：∫∫xydo=∫∫uvdv=∫0，2∫0，2uvdv=∫0，2∫0，2(u*v)dv=∫0，2[u*(v^2/2)]du=1/3*(2^3-0^3)=8/3

问：二重积分(x^2+y^2-x),d是由y=2,y=2x,y=x所围成的闭区域

答：您的问题是求解二重积分(x^2+y^2-x)，其中d是由y=2,y=2x,y=x所围成的闭区域。首先，我们需要将该闭区域d用极坐标表示，即：d= {(ρ,θ): 0≤ρ≤2, 0≤θ≤π/2}然后，我们可以使用双重积分的定义，将该问题转化为：∫∫d(x^2+y^2-x)dA= ∫∫dρρ(ρ^2cos^2θ+ρ^2sin^2θ-ρcosθ)dρdθ= ∫_0^π/2∫_0^2ρ^3cos^2θ+ρ^3sin^2θ-ρ^2cosθdρdθ= ∫_0^π/2[ρ^4cos^2θ/4+ρ^4sin^2θ/4-ρ^3cosθ/3]_0^2dθ= ∫_0^π/2[8cos^2θ/4+8sin^2θ/4-8cosθ/3]dθ= ∫_0^π/2[2+2cos2θ-8cosθ/3]dθ= [2θ+sin2θ-8/3sinθ]_0^π/2= π/2+1-8/3= 5π/6-8/3因此，最终的结果为：∫∫d(x^2+y^2-x)dA = 5π/6-8/3