Question

若二次函数(x-m)²-1,当x≤2时,y随x的值增大而减小,则m的取值范围

Answer 1

问：若二次函数(x-m)²-1,当x≤2时,y随x的值增大而减小,则m的取值范围

答：亲爱的用户： 根据给定的条件，当 $x \leq 2$ 时，二次函数 $(x-m)^2 - 1$ 随着 $x$ 的增大而减小。我们将其分为两种情况来讨论 $m$ 的取值范围： 1. 当 $m \geq 2$ 时，考虑 $x=2$ 的情况，代入二次函数得到 $(2-m)^2 - 1$。根据二次函数的性质，当 $m \geq 2$ 时，$(2-m)^2 - 1 \geq 0$。因此，在这种情况下，无论 $x$ 的取值如何，函数值都大于等于 0，与题意不符。 2. 当 $m < 2$ 时，考虑二次函数在 $x=2$ 处的值。代入二次函数得到 $(2-m)^2 - 1$。根据题意，函数值随着 $x$ 的增大而减小，所以 $(2-m)^2 - 1 < 0$。展开并运算得到 $(4-4m+m^2) - 1 0$，即 $(m-1)(m-3) > 0$。由于二次函数在 $x=2$ 处的函数值小于 0，所以 $m$ 的取值范围是 $1 < m < 3$。 综上所述，$m$ 的取值范围是 $1 < m < 3$。

问：没懂为什么m不能≥2

答：亲亲，当m≥2时，考虑x=2的情况，代入二次函数得到(2-m)²-1，根据二次函数的性质，当m≥2时，(2-m)²-1≥0。所以在这种情况下，无论x的取值如何，函数值都大于等于0，与题意不符。

问：为什么函数值不能≥0

答：亲爱的用户： 根据给定的条件，当 $x \leq 2$ 时，二次函数 $(x-m)^2 - 1$ 会随着 $x$ 的增大而减小。 我们知道，二次函数的开口方向取决于二次项的系数。对于这个二次函数 $(x-m)^2 - 1$，二次项的系数为 $1$。而当二次函数随着 $x$ 的增大而减小时，这说明该二次函数的开口是向下的。 因此，我们可以得出结论：$m$ 不能大于或等于 $2$。

答：因此，函数值不能≥0哦