Question

二次函数解题方法总结

Answer 1

　　二次函数是初中重要的数学知识点，本文就来分享一篇二次函数解题方法总结，希望对大家能有所帮助！

　　1.求证“两线段相等”的问题：

　　2.“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题：

　　由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t)，借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。

　　3.求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：

　　先用点斜式(或称K点法)求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可。

　　4.“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题：

　　(方法1)先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式(注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率(k)相等)，再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y消掉，得到一个关于x的的一元二次方程，由题有△=-4ac=0(因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以-4ac=0)从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出x、y的值，即为切点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。

　　(方法2)该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离。

　　(方法3)先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导数等于定直线的斜率时，求出的点的坐标即为符合题意的点，其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。

　　5.常数问题：

　　(1)点到直线的距离中的常数问题：

　　“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题：

　　先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。

　　(2)三角形面积中的常数问题：

　　“抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：

　　先求出定线段的长度，再表示出动点(其坐标需用一个字母表示)到定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。

　　6.“在定直线(常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线)上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题：

　　先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点，其坐标很易求出(利用求交点坐标的方法)。

　　7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题：

　　“在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题(简称“一边固定两边动的问题)：

　　由于有两个定点，所以该三角形有一定边(其长度可利用两点间距离公式计算)，只需另两边的和最小即可。

　　8.三角形面积的最大值问题：

　　①“抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题(简称“一边固定两边动的问题”)：

　　(方法1)先利用两点间的距离公式求出定线段的长度;然后再利用上面3的方法，求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。最后利用三角形的面积公式底·高1/2。即可求出该三角形面积的最大值，同时在求解过程中，切点即为符合题意要求的点。

　　(方法2)过动点向y轴作平行线找到与定线段(或所在直线)的交点，从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标一母示后，

　　进一步可得到，转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值。

　　②“三边均动的动三角形面积最大”的问题(简称“三边均动”的问题)：

　　先把动三角形分割成两个基本模型的三角形(有一边在x轴或y轴上的三角形，或者有一边平行于x轴或y轴的三角形，称为基本模型的三角形)面积之差，设出动点在x轴或y轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似(常为图中最大的那一个三角形)。利用相似三角形的性质(对应边的`比等于对应高的比)可表示出分割后的一个三角形的高。从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了。

　　9.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：

　　由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形(连结两个定点，即可得到一个定三角形)的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同。

　　10、“定四边形面积的求解”问题：

　　有两种常见解决的方案：

　　方案(一)：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和;

　　方案(二)：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴(或y轴)作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形(常为直角梯形)和一些三角形的面积之和(或差)，或几个基本模型的三角形面积的和(差)

　　11.“两个三角形相似”的问题：

　　12.“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：

　　首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。(若某边底，则只有一种情况;若某边为腰，有两种情况;若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况)。先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标(一母示)，按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程。解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点(就是不能构成三角形这个题意)。

　　13、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题：

　　这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标(若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标)，任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线(显然最多有3条)，此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。

　　进一步有：

　　①若是否存在这样的动点构成矩形呢?先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否?若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。

　　②若是否存在这样的动点构成棱形呢?先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否?若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。

　　③若是否存在这样的动点构成正方形呢?先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等?和两条对角线是否相等?若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。

　　14.“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：(此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，后面的19实为本类型的特殊情形。)

　　先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示(如果图形是动图形就只能表示出其面积)或计算(如果图形是定图形就计算出它的具体面积)，然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。(注意去掉不合题意的点)，如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。

　　15.“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题：

　　若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标(一母示)，视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线(没有与y轴平行的直线)垂直的斜率结论(两直线的斜率相乘等于-1)，得到一个方程，解之即可。

　　若夹直角的两边中有一边与y轴平行，此时不能使用斜率公式。补救措施是：过余下的那一个点(没在平行于y轴的那条直线上的点)直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定。

　　16.“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题。

　　①若定点为直角顶点，先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式(如斜率不存在，根据定直角点，可以直接写出另一直角边所在直线的方程)，利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否?若等，该交点合题，反之不合题，舍去。

　　②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式，再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率，把这两个斜率相乘，看其结果是否为-1?若为-1，则就说明所求交点合题;反之，舍去。

　　17.“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题：

　　题中含有两角相等，则意味着应该运用三角形相似来解决，此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口。