Question

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAD=30°,AC=BC=AD,求证：CD=BC

Answer 1

∵ AC=BC,得△ABC是等腰三角形,
由于∠C=90°,两底角都为45°；
AC=AD,得△ACD是等腰三角形,
由于∠CAD=30°,所以∠ACD=∠ADC=75°
∠DCB=∠DAB=15°
过D点做DE‖AC交AB与E点,∠ADE=∠DAC=30°
证明得△ADE与△ABD相似,可知∠ABD=∠ADE=30°
则∠DBC=∠ABC-∠ABD=45°-30°=15°=∠DCB
△DBC为等腰三角形
∴BD=DC

作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足E、F
∵∠ACB=90°
∴四边形CEDF是矩形
∴DE=CF
∵∠CAD=30°
∴AD=2DE
∵AC=BC=AD
∴BC=2DE=2CF
即：F为BC中点
∴DF垂直平分BC
∴CD=BD