Question

数列极限四则运算的证明例题看不懂？请高手指教！

自学大专高数教材中的数列极限四则运算的证明例题看不懂？请高手指教！下面是原例题。例题中怎么突然冒出个ε/2M来，是怎么推出来的？自学很痛苦，经常碰到解决不了的问题。 谢谢高手的讲解！
数列极限的四则运算证明
设limAn=A,limBn=B,则有
法则1:lim(An+Bn)=A+B
法则2:lim(An-Bn)=A-B
法则3:lim(An•Bn)=AB
法则4:lim(An/Bn)=A/B.
(n趋于+∞的符号就先省略了。)

证明法则3:lim(An•Bn)=AB （其他的留给读者自己证明）
要证明An•Bn收敛于AB，就是要指出对于任意给定的ε＞0，必有正整数N存在，使n＞N时，不等式|An•Bn-AB|＜ε成立，但
An•Bn-AB=（An•Bn-A• Bn）+（A •Bn- AB），
故有| An•Bn-AB | ≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B| ①
由于Bn收敛于B，故必有界，即存在一个与n无关的正数M，
使 |Bn|＜M （n=1，2，3…）成立。
又，由于当n→∞时，An→A, Bn→B,所以对于任意给定的ε＞0，无论怎样小，必有正整数N1和N2存在，使n＞N1时，|An-A|＜ε/2M成立：使n＞N2时，|Bn-B|＜ε/2|A|成立。取N1和N2中大的一个作为N，记作N=max(N1,N2),那末当n＞N时，不等式
|An-A|＜ε/2M ②
|Bn-B|＜ε/2|A| ③
同时成立。
由于不等式①②③，当n＞N时，我们有
| An•Bn-AB |＜ε/2+ε/2=ε
这就是说，An•Bn的极限存在，且等于AB。

实在是看不懂这句：“使n＞N1时，|An-A|＜ε/2M成立：使n＞N2时，|Bn-B|＜ε/2|A|成立。”怎么突然冒出个ε/2M来，不应该是|An-A|＜ε吗？

Answer 1

首先要注意，目标是| An•Bn-AB |＜ε，但已知的是：limAn=A,limBn=B，所以证明中，一定要用到|An-A|和|Bn-B|。于是通过绝对值不等式| An•Bn-AB | ≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B|找到与这两个式子（|An-A|和|Bn-B|）的关系。如果|An-A||Bn|＜ε/2，|A||Bn-B|＜ε/2，问题就解决了。这两个不等式等价于：|An-A|＜ε/(2|Bn|)，|Bn-B|＜ε/(2|A|),为了清晰起见，分母加了括号。|A|是个常数，已经没有问题，但|Bn|不是常数，于是根据收敛数列的有界性，即：|Bn|＜M，找到与n无关的正常数M。于是|An-A||Bn|<|An-A|M＜ε/2,后一个不等式等价于：|An-A|＜ε/(2M),这里已经假定M是正数，绝对值符号就不写了。这就是ε/(2M)的由来，而不是突然冒出来的。

证明中，快到最后的时候有一句话：由于不等式①②③，当n＞N时，我们有|An•Bn-AB|＜ε/2+ε/2=ε
其实仔细写来，应该是：
|An•Bn-AB|≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B|<|An-A|M+|A||Bn-B|＜ε/(2M)•M+|A|•ε/(2|A|)=ε/2+ε/2=ε
第一个“≤”用了①，第二个“<”用了“|Bn|＜M ”，第三个“<”用了②③。

另外，如果limAn=A，一般得到|An-A|＜ε，肯定没有问题，如果写成|An-A|＜ε/2，应该也要理解。证明中就强调“对于任意给定的ε＞0，无论怎样小”。这句话一定要充分理解，一个是“任意”，一个是“无论怎样小”。所以一定要理解“ε”是充分的小。因此，如果limAn=A，我们可以得到|An-A|＜ε，也可以得到|An-A|＜ε/2 或者 |An-A|＜2ε，甚至如果常数 a>0，我们同样可以得到|An-A|＜ε/a 或者 |An-A|＜aε。但是，一定要注意 a 与数列的下标 n 无关，是一般函数的话，务必和函数的自变量无关。证明中在引出常数“M”时，特别强调“存在一个与n无关的正数M”。

其实如果我们最后得到：|An•Bn-AB|<ε'M+|A|•ε''也是可以的，这里的ε'是由limAn=A得到的，ε''是由limBn=B得到的。但这样一则不漂亮，二则还要说明“ε'M+|A|•ε''”也是充分小。与其都要说明，那就放在中间了，这样最后得到|An•Bn-AB|<ε，又漂亮又可以直接写：“这就是说，An•Bn的极限存在，且等于AB”了。

至于ε要不要找一个正常数与其相乘除，找怎样的正常数，就要看题目了。比如，上面的证明如果改成三个已知极限的乘积，或许就要用到ε/3了。给ε找一个正常数与其相乘除，是解这一类题目的“惯用伎俩”。

Answer 2

对于命题“对于任意小ε，存在N，使n＞N时，|An-A|＜ε成立”必须灵活地加以理解。我们取ε1<ε，按照以上命题，把ε1看成ε，也应该存在N1，使n＞N1时，|An-A|＜ε1成立。于是可以推论，“对于任意小ε，若取ε1＜ε，则存在N1，使n＞N1时，|An-A|＜ε1成立”，把N1换成N，就成了“对于任意小ε，若取ε1＜ε，则存在N，使n＞N时，|An-A|＜ε1成立”。在lim(An•Bn)=AB 的证明过程中，取了ε1=ε/2M及ε/2|A|，至于N1和N2的下标不同，只是为了相互区分。