Question

谁能用简单的语言说下高数里的 方向导数和梯度

如题，我看书理解出来的是
方向导数就是从任意方向上切一个曲面，得到的一个弧线，上面的一点的导数和偏x，偏y是有关系的

梯度是单位方向导数

不知道准确不？

Answer 1

方向导数
1.设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义，对于给定的自点P0出发的射线l，在射线上任取一点P(x0+Δx,y0+Δy)，点P0到P的距离记为ρ，如果函数f沿射线l的改变量与ρ的比值limρ→0的极限存在，把此极限称为函数f在点(x0,y0)沿方向l的方向导数。记作∂f/∂l|(x0,y0)或∂z/∂l|(x0,y0)。
2.三元函数u=f(x,y,z)的方向导数的定义与二元函数类似。
定理1. 如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)处可微，则函数f在该点处沿任一方向l的方向导数存在，且有∂f/∂l=∂f/∂x*cosα+∂f/∂y*cosβ，其中α，β是方向l的方向角。
定理2. 如果函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)处可微，则函数f在该点处沿任一方向l的方向导数存在，且有∂f/∂l=∂f/∂x*cosα+∂f/∂y*cosβ+∂f/∂z*cosγ，其中α，β，γ是方向l的方向角。
梯度：引入单位向量l°=cosαi+cosβj+cosγk 及 向量G=∂u/∂xi+∂u/∂yj+∂u/∂zk，根据数量积的定义，∂u/∂l=G·l°，可见向量G就是函数f变化率最大的方向向量 ∂u/∂xi+∂u/∂yj+∂u/∂zk，称为函数f在点P(x,y,z)处的梯度，记为grad u或∇f。
梯度的模为 |grad u|=[(∂u/∂x)^2+(∂u/∂y)^2+(∂u/∂z)^2]^0.5

“梯度是单位方向导数”不正确。

Answer 2

方向导数是对于x 、y 的偏导数
那个梯度=对x、y的偏导数数的平方和开平方
即 梯度=（对x的偏导数^2+对y的偏导数^2）^（1/2）
你那个会带是不准确的