Question

（1）已知函数f（x）的周期为4，且等式f（2+x）=f（2-x）对一切x∈R恒成立，求证f（x）为偶函数；（2）设

（1）已知函数f（x）的周期为4，且等式f（2+x）=f（2-x）对一切x∈R恒成立，求证f（x）为偶函数；（2）设奇函数f（x）的定义域为R，且f（x+4）=f（x），当x∈[4，6]时，f（x）=2 x +1，求f（x）在区间[-2，0]上的表达式．

Answer 1

（1）证明：∵f（2+x）=f（2-x） ∴f（2+（x+2））=f（2-（x+2）），即f（x+4）=f（-x） 又∵函数f（x）的周期为4 ∴f（x+4）=f（x） ∴f（-x）=f（x） 又∵x∈R，定义域关于原点对称 ∴函数f（x）是偶函数 （2）当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2] ∴-x+4∈[4，6] 又∵当x∈[4，6]时，f（x）=2 x +1 ∴f（-x+4）=2 -x+4 +1 又∵f（x+4）=f（x） ∴函数f（x）的周期为T=4 ∴f（-x+4）=f（-x） 又∵函数f（x）是R上的奇函数 ∴f（-x）=-f（x） ∴-f（x）=2 -x+4 +1 ∴当x∈[-2，0]时，f（x）=-2 -x+4 -1