Question

（本题满分12分）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：①x＞1时，f（x）＜0，②f（ ）=1，③对任意

（本题满分12分）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：①x＞1时，f（x）＜0，②f（ ）=1，③对任意x，y （ 0，+∞），都有f（xy）= f（x）+ f（y），求不等式f（x）+ f（5-x）≥-2的解集。

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Answer 1

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试题分析：（1）构造函数中两个任意变量的函数值差，结合函数表达式得到函数单调性的证明。 （2）结合特殊值的函数值，得到f(4)=-2,进而得到函数的不等式的求解。 解：设0＜x1＜x2，则 ＞1，∵f（xy）= f（x）+ f（y） ∴f（x 2 ）= f（ ）= f（ ）+ f（x 1 ） 又∵x＞1时，f（x）＜0，∴f（ ）＜0 ∴f（x 2 ）＜f（x 1 ），∴f（x）是（ 0，+∞）上的减函数。又∵f（1）= f（1）+ f（1） ∴f（1）=0，而f（ ）=1，∴f（2? ）= f（2）+ f（ ）=0 ∴f（2）=-1，∴f（x）+ f（5-x）≥-2="2" f（2）= f（4） ∴ ，∴0＜x≤1，或4≤x＜5 ∴原不等式的解集是 。 点评：解决该试题的关键是能利用已知条件分析得到函数的单调性的证明，结合已知的关系式将所求的表示为一个整体函数式，同时能结合单调性得到求解。