在平面角为60°的二面角α-l-β内有一点P,P到α、β的距离分别为PC=2cm,PD=3cm,则P到棱l的距离为25732

在平面角为60°的二面角α-l-β内有一点P,P到α、β的距离分别为PC=2cm,PD=3cm,则P到棱l的距离为25732573.... 在平面角为60°的二面角α-l-β内有一点P,P到α、β的距离分别为PC=2cm,PD=3cm,则P到棱l的距离为25732573. 展开
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蛋蛋aE9C
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知道答主
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解答:解:设过P,C,D的平面与l交于Q点.   
由于PC⊥平面α,l?平面M,则PC⊥l,
同理,有PD⊥l,∵PC∩PD=P,
∴l⊥面PCQD于Q.
又 DQ,CQ,PQ?平面PCQD
∴DQ⊥l,CQ⊥l.
∴∠DQC是二面角α-l-β的平面角.
∴∠DQC=60°
且PQ⊥l,所以PQ是P到l的距离.
在平面图形PCQD中,有∠PDQ=∠PCQ=90°
∴P、C、Q、D四点共圆,也为△PDC的外接圆,且PQ是此圆的直径.
在△PCD中,∵PC=2cm,PD=3cm,∠CPD=180°-60°=120°,
由余弦定理得 CD2=PC2+PD2-2PC?PDcos120°
=9+4-2×3×2×(?
1
2
)=19,CD=
19

在△PDC 中,根据正弦定理
CD
sin∠CPD
=2R=PQ,代入数据得出PQ=
19
3
2
=
2
57
3

∴点P到直线l的距离为
2
57
3

故答案为:
2
57
3
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