Question

已知函数f（x）=2mx 2 -2（4-m）x+1，g（x）=mx，设集合M={m|?x∈R，f（x）与g（x）的值中至少有一个为正

已知函数f（x）=2mx 2 -2（4-m）x+1，g（x）=mx，设集合M={m|?x∈R，f（x）与g（x）的值中至少有一个为正数}．（Ⅰ）试判断实数0是否在集合M中，并给出理由；（Ⅱ）求集合M．

Answer 1

（Ⅰ）∵m=0时，f（x）=-8x+1，g（x）=0，f（x）的值不恒为0． ∴0?M． （Ⅱ）①当m＞0时，g（x）=mx在x∈（0，+∞）时恒为正， ∴f（x）=2mx 2 -2（4-m）x+1＞0对x≤0恒成立． ∴ △=4(4-m ) 2 -8m≥0 4-m 2 ≥0 或△＜0， 解得 0＜m＜8． ②当m＜0时，g（x）=mx在x∈（-∞，0）时恒为正， ∴f（x）=2mx 2 -2（4-m）x+1＞0对x≥0恒成立． ∵f（x）的图象开口向下且过点（0，1）， ∴m∈?． 综上，m的取值范围是（0，8）．