Question

某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为

某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为 2 3 ．（1）求比赛三局甲获胜的概率；（2）求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为X，求X的数学期望．

Answer 1

记甲n局获胜的概率为 P n ，n=3，4，5， （1）比赛三局甲获胜的概率是：P 3 = C 33 ( 2 3 ) 3 = 8 27 ； （2）比赛四局甲获胜的概率是：P 4 = C 23 ( 2 3 ) 3  ( 1 3 ) = 8 27 ； 比赛五局甲获胜的概率是：P 5 = C 24 ( 1 3 ) 2 ( 2 3 ) 3 = 16 81 ； 甲获胜的概率是：P 3 +P 4 +P 5 = 64 81 ． （3）记乙n局获胜的概率为 P n ′，n=3，4，5． P 3 ′= C 33 ( 1 3 ) 3 = 1 27 ，P 4 ′= C 23 ( 1 3 ) 3  ( 2 3 ) = 2 27 ； P 5 ′= C 24 ( 1 3 ) 3 ( 2 3 ) 2 = 8 81 ； 故甲比赛次数的分布列为： X 3 4 5 P（X） P 3 +P 3 ′ P 4 +P 4 ′ P 5 +P 5 ′ 所以甲比赛次数的数学期望是：EX=3（ 1 27 + 8 27 ）+4（ 8 27 + 2 27 ）+5（ 16 81 + 8 81  ）= 107 27 ．