Question

如图，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=23cm．（1）求∠BAC的度数；（2）求⊙O的周长；（3）连接AD，求证

如图，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=23cm．（1）求∠BAC的度数；（2）求⊙O的周长；（3）连接AD，求证：DB=DA+DC．

Answer 1

解答：解：（1）∵∠BAC与∠BDC是

BC

所对的圆周角，∠BDC=60°，
∴∠BAC=60°．

（2）∵△ABC中，∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2

3

，圆心O是△ABC的内心，
连接OB，OC，过O作OE⊥BC于E，则BE=

1

2

BC=

1

2

×2

3

=

3

，∠OBE=30°，
∴OB=

BE

cos∠OBE

=

3

3 2

=2，
∴⊙O的周长=2π?OB=2π×2=4π．

（3）连接AD并延长至E，使DE=CD，连接CE，
∵∠ACB=∠BDC=60°，
∴∠ADB=∠BDC=60°，
∴∠CDE=180°-∠ADB-∠BDC=180°-60°-60°=60°，
∴△CDE是等边三角形，∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角，
∴∠DAC=∠DBC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
∴△DBC≌△CAE，
∴BD=AE，即DB=DA+DC．