Question

数学20题

Answer 1

<1> e = c/a = √3/2
以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+√2=0
那么原点到直线 x-y+√2=0 的距离d = 短半轴半径b ; 所以 b=1;因此a=2.
椭圆方程 x^2/4+y^2=1

<2> 设直线PN: x = my+4 （斜率k=1/m)
代入椭圆方 (my+4)^2+4y^2-4 = (m^2+4)x^2+8my+12 = 0.....1#
因为PN与椭圆有2个交点，所以△ = 64m^2-48(m^2+4)>0
因此 m^2>12 m>2√3 或 m<-2√3

所以 k ∈(-√3 /6,√3 /6)

<3> 设N（x1,y1) E(x2,y2);于是 M(x1,-y1)

直线 ME: (y2+y1)/(x2-x1)(x-x1) = y+y1
y=0; x0 = x1+y1*(x2-x1)/(y1+y2) = my1+4 + my1(y2-y1)/(y1+y2)
= 4 + 2my1y2/(y1+y2)

由1# 显然 2my1y2/(y1+y2) = 2m*12/(-8m) = -3

因此 x0 = 1 直线ME恒过 (1,0)