Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（1）若a＞b＞c且f（1）=0，证明：f（x）的图象与x轴有两个相异交点；（2

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（1）若a＞b＞c且f（1）=0，证明：f（x）的图象与x轴有两个相异交点；（2）若x1，x2，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），证明：方程f(x)＝f(x 1)+f(x 2)2必有一实根在区间 （x1，x2） 内；（3）在（1）的条件下，设两交点为A、B，求线段AB长的取值范围．

Answer 1

（1）证明：由a＞b＞c可得a＞0，c＜0由f（1）=0可得a+b+c=0
∵△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²＞0
∴f（x）的图象与x轴有两个相异交点
（2）令g（x）=f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

则g（x₁）=f（x₁）-

f(x1)+f(x2)

2

=

f(x1)?f(x2)

2

g（x₂）=f（x₂）-

f(x1)+f(x2)

2

=-

f(x1)?f(x2)

2

又g（x）的图象是连续的
∴方程f（x）=

f(x1)+f(x2)

2

即g（x）=0必有一实根在区间（x₁，x₂）内．
（3）设f（x）=0两根为x₁，x₂
∵a＞b＞c，b=-a-c
∴a＞-a-c＞c又a＞0
∴

c

a

＜-1-

c

a

＜1
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

又AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2?4x1x2

=

b2 a2 ? 4c a

=1-

c

a

∴

3

2

＜AB＜3
∴AB长的取值范围为（

3

2

，3）