Question

已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且Sn=n(an?a1)2．（1）求a1；（2）证明数列{an}为等差数列，并写出

已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且Sn=n(an?a1)2．（1）求a1；（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgbn=an+13n，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）令n=1，则a₁=S₁=

1(a1?a1)

2

=0
（2）由Sn＝

n(an?a1)

2

，即Sn＝

nan

2

，①
得  Sn+1＝

(n+1)an+1

2

．②
②-①，得  （n-1）a_n+1=na_n．③
于是，na_n+2=（n+1）a_n+1．④
③+④，得na_n+2+na_n=2na_n+1，即a_n+2+a_n=2a_n+1
又a₁=0，a₂=1，a₂-a₁=1，
所以，数列{a_n}是以0为首项，1为公差的等差数列．
所以，a_n=n-1
（3）假设存在正整数数组（p，q），使b₁，b_p，b_q成等比数列，则lgb₁，lgb_p，lgb_q成等差数列，
于是，

2p

3p

＝

1

3

+

q

3q

所以，q＝3q(

2p

3p

?

1

3

)（☆）．
易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解
当p≥3，且p∈N*时，

2(p+1)

3p+1

?

2p

3p

＝

2?4p

3p+1

＜0，故数列{

2p

3p

}（p≥3）为递减数列，
于是

2p

3p

?

1

3

≤

2×3

33

?

1

3

＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．
综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b₁，b_p，b_q成等比数列