Question

如图所示，光滑的U型金属导轨PQMN水平地固定在竖直向上的匀强磁场中．磁感应强度为B，导轨的宽度为L，其

如图所示，光滑的U型金属导轨PQMN水平地固定在竖直向上的匀强磁场中．磁感应强度为B，导轨的宽度为L，其长度足够长，QM之间接有一个阻值为R的电阻，其余部分电阻不计．一质量为m，电阻也为R的金属棒ab，恰能放在导轨之上并与导轨接触良好．当给棒施加一个水平向右的冲量，棒就沿轨道以初速度v 0 开始向右滑行．求：（1）开始运动时，棒中的瞬间电流i和棒两端的瞬间电压u分别为多大？（2）当棒的速度由v 0 减小到 1 10 v 0 的过程中，棒中产生的焦耳热Q是多少？棒向右滑行的位移x有多大？

Answer 1

（1）开始运动时，棒中的感应电动势： e=Lv 0 B 棒中的瞬时电流：i= e 2R = BL v 0 2R 棒两端的瞬时电压：u= R R+R e= 1 2 Lv 0 B （2）由能量转化与守恒定律知，全电路在此过程中产生的焦耳热： Q 总 = 1 2 mv 0 2 - 1 2 m（ 1 10 v 0 ） 2 = 99 200 mv 0 2   ∴棒中产生的焦耳热为：Q= 1 2 Q 总 = 99 400 mv 0 2   令：△t表示棒在减速滑行时某个无限短的时间间隔，则在这一瞬时，结合安培力 和瞬时加速度的极限思想，应用牛二律有： iLB=m △v △t 结合电磁感应定律和瞬时速度的极限思想，应用全电路欧姆定律有： i?2R=LBv=LB △x △t   所以：mLB△v=LB?2R△x，即：△x∝△v 所以对于全过程，上述正比例关系仍成立 所以对于全过程（△v= 9 10 v 0 ），得： △x=x= 9 10 Rm L 2 B 2 v 0 答：（1）开始运动时，棒中的瞬间电流i= BL v 0 2R 和棒两端的瞬间电压u= 1 2 Lv 0 B； （2）当棒的速度由v 0 减小到 1 10 v 0 的过程中，棒中产生的焦耳热Q= 99 400 mv 0 2 ；棒向右滑行的位移x= 9 10 Rm L 2 B 2 v 0 ．