Question

设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=2，b1=3，a3+b5=56，a5+b3=26．（Ⅰ）求数列{an}

设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=2，b1=3，a3+b5=56，a5+b3=26．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若-x2+3x≤2bn2n+1对任意n∈N*恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，

a1+2d+b1?q4＝56 a1+4d+b1?q2＝26

，（2分）
代入得

2+2d+3?q4＝56 2+4d+3?q2＝26

，消d得2q⁴-q²-28=0，
∴（2q²+7）（q²-4）=0，
∵{b_n}是各项都为正数的等比数列，
∴q=2
进而d=3，
∴an＝3n?1，bn＝3?2n?1（6分）
（Ⅱ）记cn＝

3?2n?1

2n+1

，则cn+1?cn＝3?2n?1?

2n?1

(2n+1)(2n+3)

＞0（10分）
∴c_n最小值为c₁=1，（12分）
∵?x2+3x≤

2bn

2n+1

对任意n∈N^*恒成立，
∴-x²+3x≤2，
∴x≥2，或x≤1（14分）