Question

二元初等函数的二阶混合偏导数一定连续且相等吗？

因为初定函数在定义域内连续 且二元初等函数的偏导数仍为初等函数 所以二元初等函数的二阶偏导数也是初等函数 其在定义域内连续
又因二阶偏导连续 则与求偏导的先后次序无关知 两个二阶混合偏导应当相等 这样的逻辑理解对吗？

Answer 1

1、因为初定函数在定义域内连续 且二元初等函数的偏导数仍为初等函数 所以二元初等函数的二阶偏导数也是初等函数 其在定义域内连续 ：这是对的。
2、又因二阶偏导连续 则与求偏导的先后次序无关知 两个二阶混合偏导应当相等 ：
这也是对的。高数课本有这个定理的。
3、如果是分段函数，分段函数整体不是初等函数。上边结论不一定成立。

Answer 2

对
但是数学分析里不会特别在意初等函数，连续与可微性更重要。
定理的理解与应用挺好

Answer 3

对多元初等函数来说，是这样的。