Question

【急】用定积分求极坐标方程的面积，极角范围应该怎么求呢？

自学微积分BC中，以前完全没有接触过极坐标系， 求学霸大神帮忙解答，万分感谢！！

以下是题目：

问题1: Find the area of theregion in the plane enclosed by the cardioids r=4+4sinθ.求出被心形线r=4+4sinθ包围的面积。

直接套公式就可以，但是请问是怎么求出的a, b值（极角范围）就是上图中的0, 2π的呢？我一直搞不懂..

问题2：Find the area inside the smaller loop of the limacon: r=1+2cosθ.求出蜗牛曲线r=1+2cosθ中的小圈（就是里面的圈）的面积。

和上一题类似，直接套公式就可以，但是请问是怎么求出的a,b值（极角范围） 就是上图中的的呢？

我的问题就是关于极角范围a,b的取值，不知道应该从何下手，谢谢您的解答！！悬赏一共就只有5分 TUT 不要嫌弃啦

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Answer 1

问题一的很简单，其实就是旋转一周形成图线与极点所夹区域的面积

而旋转一周就是[0,2π]的范围

问题二比较麻烦，不能发动态，我画了5幅图，图像就是点P的轨迹

他们依次极角变大，只有3、4幅图的点P在所求区域上，也就是在比第3幅图极角偏小点的位置开始到比第4幅图的极角偏大的位置是满足条件的极角范围，

具体要差多少要计算，显然使极角满足条件的极径OP=0，

把ρ=0解得，θ=2π/3、4π/3

所以θ∈[2π/3,4π/3]

追问

..你回答的很详细但是还是不懂... 具体是怎么解出的θ值呢? 为什么ρ=0 QAQ

追答

中间那一圈的线是从第一次ρ=0到第二次ρ=0，对应的θ也就可以解出来了

令ρ=0，即1+2cosθ=0

==>cosθ=-1/2
==>θ=2π/3+2kπ,或θ=4π/3+2kπ
在[0,2π]范围内，θ=2π/3或θ=4π/3
关于极坐标系，你应该百度一下搜一下，毕竟我也没系统地学习，是自学的，
更何况我还在读高一，讲不清

Answer 2

一般的做法是先把图像画出来，不一定要精确的图像，至少要示意图。这样以便你在几何上有一个直观的理解。这样方便你求出准确的范围。
具体求范围的方法可能很灵活，有直接看出来的，有需要变形运算的。我就见有变形后用定义域、值域求范围的。具体问题具体分析。

Answer 3

用定积分求极坐标方程的面积，技巧范围的算法是一。到非常复杂的题目解答起来非常麻烦。你可以去请教你的老师给你做详细的解答。

Answer 4

对题2有一个疑问：
在角度从2π/3变化到4π/3的过程中，
经过π角度，此时得到r=-1。

Answer 5

引用qq1091160905的回答：
问题一的很简单，其实就是旋转一周形成图线与极点所夹区域的面积
而旋转一周就是[0,2π]的范围
问题二比较麻烦，不能发动态，我画了5幅图，图像就是点P的轨迹

他们依次极角变大，只有3、4幅图的点P在所求区域上，也就是在比第3幅图极角偏小点的位置开始到比第4幅图的极角偏大的位置是满足条件的极角范围，
具体要差多少要计算，显然使极角满足条件的极径OP=0，
把ρ=0解得，θ=2π/3、4π/3
所以θ∈[2π/3,4π/3]

cosΘ=-1/2 Θ=5/6π啊老哥