Question

函数y(x)满足方程xy′+y-y2lnx=0,且x=1时,y=1,则在x=e时,y=

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Answer 1

xy'+y-y²lnx=0
先求方程的特解：
(x/y²)y'+1/y=lnx............(A)
先求齐次方程（x/y²)y'+1/y=0；即(x/y)(dy/dx)+1=0........(1)的通解：
分离变量得dy/y=-dx/x；积分之得lny=-lnx+lnc=ln(c/x);
故齐次方程(1)的通解为y=c/x；将积分常数改为x的函数u，得y=u/x.........(2)
将(2)的两边对x取导数得y'=(xu'-u)/x²........(3)
将(2)(3)代入方程(A)并化简得：(x²/u²)u'=lnx；
再分离变量得：du/u²=[(lnx)/x²]dx; 设lnx=t，则x=e^t；dx=e^(t)dt;
于是积分之得 -1/u=∫[t/(e^t)]dt=-∫td[e^(-t)=-[te^(-t)+∫e^(-t)d(-t)]=-t/(e^t)-1/(e^t)-c
=-(t+1+ce^t)/e^t =-(lnx+1+cx)/x
故u=x/(lnx+1+cx)
代入(2)式即得原方程的通解为y=1/(lnx+1+cx)

代入初始条件：x=1，y=1，得1=1/(1+c)，故c=0；
于是得原方程的特解为y=1/(1+lnx)；故x=e时y=1/2；应选B;