Question

高等代数判断题，求解释。

Answer 1

第1题，考虑矩阵A^2
显然其特征值是A的特征值的平方。
因此矩阵A^2的迹，等于这些特征值的平方和（即等式左边）
另一方面，矩阵A^2的迹，等于其主对角线上元素之和（即等式右边）。
因此，等式成立。

第2题
B是正定矩阵，则B的逆矩阵B^-1显然也正定

而AB^-1=（B^-1B）AB^-1
=B^-1（BA）B^-1
=B^-1（AB）B^-1
=B^-1A（BB^-1）
=B^-1A
即A，B^-1可交换。

再利用：A,B都为n阶正定矩阵,AB是正定矩阵的充分必要条件是AB=BA【1】
立即得到AB^-1正定。

命题【1】的证明：

证明:因为A,B正定,所以 A^T=A,B^T=B
(必要性) 因为AB正定,所以 (AB)^T=AB
所以 BA=B^TA^T=(AB)^T=AB.

(充分性) 因为 AB=BA
所以 (AB)^T=B^TA^T=BA=AB
所以 AB 是对称矩阵.
由A,B正定,存在可逆矩阵P,Q使 A=P^TP,B=Q^TQ.
故 AB = P^TPQ^TQ
而 QABQ^-1=QP^TPQ^T = (PQ)^T(PQ) 正定,且与AB相似
故 AB 正定.