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（1）经验，
其实课本上（同济教材）中有：
1/(x³+1)=1/3·[1/(x+1)-(x-2)/(x²-x+1)]
把x变成x²即可
【感觉你抄错了】
（2）待定系数法，
【与其羡慕老师，不如学习方法】
设1/(x³+1)=A/(x+1)+(Bx+C)/(x²-x+1)]
然后比较系数即可，这点同济教材已经讲得很明白，
你自己翻翻书就行了。
（3）
x^4-x²+1
=(x²+1)²-3x²
=(x²+1-√3·x)(x²+1+√3·x)
后面还可以裂项，你不妨试试。
其实课本上（同济教材）中有：
1/(x³+1)=1/3·[1/(x+1)-(x-2)/(x²-x+1)]
把x变成x²即可
【感觉你抄错了】
（2）待定系数法，
【与其羡慕老师，不如学习方法】
设1/(x³+1)=A/(x+1)+(Bx+C)/(x²-x+1)]
然后比较系数即可，这点同济教材已经讲得很明白，
你自己翻翻书就行了。
（3）
x^4-x²+1
=(x²+1)²-3x²
=(x²+1-√3·x)(x²+1+√3·x)
后面还可以裂项，你不妨试试。
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追问
非常抱歉，，题有点抄错，不过你没弄懂我的意思。。
我重新拍清楚了一点。就是说，我的老师把左边裂项成了右边，有如下问题。
1）我可以使用待定系数解出问号处是什么，但是为什么老师知道第二项的分子待定系数是二次的，能够设成Ax^2+Bx+C的形式呢？
2）按照有理函数的不定积分那一章的公式，第一项的分子应该是Ax+B,为什么直接被写成了1啊
3）老师当时没迟疑就写出来了，不像待定系数解的，有什么观察方法吗
追答
老师走过的路多一些而已，
我都说了，只是一个题目的改编而已。
记得答案，我做1/(x³+1)=1/3·[1/(x+1)-(x-2)/(x²-x+1)]
也不会有任何迟疑……
你们老师有误导的嫌疑，
并非所有题目都是这么轻飘飘的，
不信，你要他分分
1/[(x+2)(x²+2x+5)²]试试
做不死他……
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多项式也是可以直接用我们小学学的方法做除法来分解的，老师毕竟熟练了
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追问
这个是裂项啊。。。包含四次的裂项怎么列
追答
你看看，你老师写那个是不对的
自己乘一下结果对不上
有一个方法你可以试试，不知道是不是你想要问的
用小学除法的方式用x^4-x^2+1除以x^2+1，得x^2-2但是有余数为3
就是说x^4-x^2+1=（x^2+1）*（x^2-2）+3
(x^4-x^2+1)/3=（x^2+1）*（x^2-2）/3+1
到这步应该就能直接看出来了，不过你老师确实很厉害
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