Question

已知关于x的不等式【m²+4m-5】x²-4【m-1】x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围

已知x+2y=10,且x>0,y>0,求x.y的最大值及此时x,y的值

Answer 1

1.
m²+4m-5=(m-1)(m+5)
m=1时，不等式变为3>0，不等式恒成立，m=1满足题意。
m=-5时，不等式变为24x+3>0，x>-⅛，m=-5不满足题意
m≠1且m≠-5时，要不等式恒成立，m²+4m-5>0且(m²+4m-5)x²-4(m-1)x+3=0的判别式△<0
(m-1)(m+5)>0，解得m<-5或m>1
△=[-4(m-1)]²-4·(m²+4m-5)·3<0
4(m-1)²-3(m-1)(m+5)<0
(m-1)(m-19)<0
1<m<19，又m<-5或m>1，因此1<m<19
综上，得1≤m<19
m的取值范围为[1，19)
2.
x+2y=10
x>0，y>0由基本不等式得
x+2y≥2√(x·2y)，当且仅当x=2y时取等号

xy≤[(x+2y)/(2√2)]²=[10/(2√2)]²=25/2
此时，x=2y=10/2=5，y=5/2
xy的最大值为25/2，此时x的值为5，y的值为5/2