Question

线代R(AB)≧R(A)+R(B)-n证明，如下图所示最后一个矩阵的秩为什么会＞R(A)+R(B)

可以具体一点证明下吗？

Answer 1

稍微解释一下楼上的引理。由于r(A)+r(B)=r(A,0|0,B)，并且根据定义，有(A,0|0,B)的非零子式一定是(A,0|C,B)的非零子式，所以r(A)+r(B)≤r(A,0|C,B)。
子式是指矩阵中任取k行k列，交叉点上元素构成的子矩阵的行列式。这个行列式的值不等于零的时候，他就是原矩阵的非零子式。而秩的定义就是矩阵中最高阶非零子式的阶。
如果非零子式不好理解，可以从解集的角度来解释。对于两个m+n阶齐次线性方程组：
① (A,0|0,B)X=0
② (A,0|C,B)X=0
可以显然看出任何②的解系都是①的解，即②的基础解系的向量个数小于等于①的基础解系限量个数，因此①的系数矩阵的秩小于等于②的系数矩阵的秩（因为基础解系向量个数+系数矩阵的秩=系数矩阵的阶，等式恒成立），同样可以得到r(A)+r(B)≤r(A,0|C,B)。

Answer 2

分块矩阵的性质，请看引理2