Question

确定AR模型的阶数

Answer 1

通常事先并不知道AR模型的阶数。阶数选得太低，功率谱受到的平滑太大，如图4-4（c）所示，真实谱（左边）是两个实正弦信号的谱峰和噪声的谱，平滑后的谱已经分辨不出真实谱中的两个峰了。阶数选得太高，固然会提高谱估计的分辨率，但同时又会产生谱的虚假细节或虚假谱峰，如图4-4（d）所示，由于AR模型的阶数选得太高，极点太多，因而出现了许多虚假谱峰。所以，应适当选择AR（k）模型的阶数，使k≥p，但不能太大。

当选择k＞p时，如果自相关函数的估计是精确的，那么AR（k）模型参数的估计为

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图4-4

（a）真实功率谱；（b）阶数选得恰当；（c）阶数选得太低；（d）阶数选得太高

式中a_p，i是模型参数的精确值。这样，用AR（k）模型能够得到AR（p）过程的精确谱估计（k＞p）。但实际上自相关函数估计是有误差的，因而不可避免地会在谱估计中引入虚假细节或虚假谱峰。那么AR模型的阶数究竟选得高一些好还是低一些好呢？这主要应从谱估计的质量来考虑。例如，要估计一个宽带AR过程的功率谱时，模型的阶数选低一些固然会使真实谱受到一定程度的平滑，但与选择过高的阶数引起虚假谱峰相比，前者能使人更容易接受一些。采用AR模型谱估计方法，既要估计AR模型参数，又要估计模型的阶数，在这样复杂的情况下，如何评价各种谱估计的性能，目前尚无定论。一种简单而直观的确定AR模型阶数的方法，是不断增加模型的阶数，同时观察预测误差功率，当其下降到最小时，对应的阶数便可选定为模型的阶数。但是预测误差功率（或AR模型激励源的方差

）是随着阶次增加而单调下降的，因此，很难确定

降到什么程度才最合适。另一方面，应注意到，随着模型阶数的增加，模型参数的数目也增多了，谱估计的方差就会变大（表现在虚假谱峰的出现）。因此，可以观察各阶模型预测误差序列的周期图，当它最接近于平坦（白色谱）时，则对应的阶数为AR模型的最佳阶数。

除上述一般方法外，还有以下几种不同的误差准则作为确定模型阶数的依据。

（1）最终预测误差（FPE）准则（Final Prediction Error Criterion）

FPE是日本学者赤池（Akaike H）提出的判别准则，采用估计均方误差来判别，即预测误差滤波器输出的均方值

。AR（k）过程的最终预测误差定义为

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它是AR（k）过程中不可预测（新息）部分的功率与AR参数估计不精确产生的误差功率之和。上式中N是采样点数，括号内的数值随着k的增大（趋近于N）而增加，这说明预测误差功率估计的不精确性在增加。由于

随阶数的增加而减小，所以，FPE将有一个最小值。此最小值所对应的阶数便是最后确定的阶数。不过实际应用表明：虽然对于AR过程来说效果很好，但在地球物理数据处理中，一般都认为这一准则确定的阶数偏低。

（2）Akaike信息论准则（AIC）（Akaike Information Criterion）

这是利用最大似然法推出的一个准则。对于高斯分布ARMA（p，q）过程，AIC定义为

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式中

是ARMA（i，j）过程的白噪声方差的最大似然估计。模型误差由

表示，一般它随着模型阶数的增加而减小，模型参数的数目体现在式（4-57）右边第二项中，它随阶数的增加而增加。通常应使待估计的模型参数的数目较少。AIC 试图解决减小模型误差和保持较少模型参数数目之间的矛盾。

对AR或MA过程，AIC定义为

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式中 i 是假设的 AR 或 MA 模型的阶数。显然，无论对于式（4-57）还是式（4-58），AIC都有一个最小值，它所对应的阶数就是要选择的阶数。

图4-5 AIC与模型阶的关系（N=100）

例如，有一AR（2）过程，差分方程为 x（n）=1.34x（n-1）-0.9025x（n-2）+w（n），设用Burg算法（将在Burg法中介绍）估计AR参数，于是有

。这样，AIC变成

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注意，由于

，所以上式第2项

将使得AIC随着i的增加而减小。当N=100时，AIC与模型阶数的关系曲线如图4-5所示。可以看出，AIC的最小值出现在i=4处，而实际上模型的阶数p=2。把模型的阶数估计得偏高是AIC的特点。

可以证明，N→∞时FPE和AIC等效。AIC不是一致估计，即当N→∞时，误差概率不趋于零。因此，建议在处理短数据记录时采用AIC。

（3）自回归传输函数（CAT）判别准则（Criterion Autoregressive Transfer Function）

这一准则是由Parzen在1976年提出的，定义为

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式中

。因此，使CAT（k）最小的k值便是最终确定的阶数。一般来说，CAT的性能与AIC和FPE的性能相似。

用FPE、AIC和CAT估计AR模型的阶数，所得到的谱估计结果常常没有多大区别，特别是应用于实际数据而不是模拟AR过程数据时更是如此。同时还发现，对于短数据段，以上准则都不理想。在实际运用这些准则时，还应该参照实验结果对模型的阶数加以适当调整。估计阶数的上界与观测样本的长度之间的关系为：估计阶数上界约为N/2 或N/3 或N^1/2。