Question

用待定系数法求二次函数的解析出方法规律（6种）

Answer 1

一、三点型（一般式）
若已知二次函数图像上任意三点的坐标，则可以用标准式y=
ax2
+bx+c.
例1
已知二次函数图像经过（1，0）、（-1，-4）和（0，-3）三点，求这个二次函数解析式.
解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,由已知可得
，解之得
故所求二次函数解析式为y=x2+2x-3.
二、顶点型（顶点式）
若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程和函数的最大（小）值，则可以用顶点形式y=a(x-h)2+k.
例2
已知抛物线的顶点坐标为（2，3），且经过点（3，1），求其解析式.
解：设二次函数解析式为y=a(x-h)2+k,由条件得1=a(3-2)2+3.
解得a=-2.
所以，抛物线的解析式为y=-2(x-2)2+3,即：y=-2x2+8x-5.
三、交点型（两点式）
若已知二次函数图像与x轴的两交点坐标或两交点间的距离及对称轴，则可以用交点形式y=a(x-x1)·(x-x2).
例3
已知二次函数图像与x轴交于（-1，0）、（3，0）两点，且经过点（1，-5），求其解析式.
解：设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-3),由条件得-5=a(1+1)(1-3).
解得a=.
故所求二次函数解析式为y=(x+1)(x-3),则y=x2—x—.
四、平移型
将二次函数图像平移，形状和开口方向、大小没有改变，发生变化的是顶点坐标.故可先将原函数解析式化成顶点形式，再按照“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求的抛物线的解析式.
例4
将抛物线y=x2+2x-3向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求所得到的抛物线的解析式.
解：函数解析式可变为y=(x+1)2-4.
因向左平移4个单位，向下平移3
个单位，所求函数解析式为y=(
x+1+4)2-4-3,即y=x2+10x+18.
五、综合型
综合运用几何性质求二次解析式.
例5
如下图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC=20，BC=15，∠ABC=90°，求这个二次函数解析式.
解：在Rt△ABC中，
AB=
+
=25，
∵S△ABC=AC·BC=AB·OC，
∴OC===12.
∵AC2=AO·AB，
∴OA===16，
∴OB=9.
从而得A、B、C三点坐标分别为（-16，0）、（9，0）、（0，12）.
于是，利用三点型可求得函数解析式为：y=-x2-x+12.