Question

一道高数题,求不定积分的：∫(1-x)/√(9-4x^2)dx 的不定积分.我的...

一道高数题,求不定积分的：∫(1-x)/√(9-4x^2)dx 的不定积分. 我的方法是利用第二类换元法,令X=3/2sinx.然后进行解答的.照理说应该没有问题的啊 .但是算出来的答案和标准答案arcsinx/2+[√(9-4x^2)]/4+C不一样.我算出来是arcsinx/2+[3√(9-4x^2)]/4+C.不知道哪个3是怎么回事,而且无论怎么演算都去不掉.答案演示的过程我也知道,但是想知道我的这种方法是哪里出了问题. 我的解题过程是这样：令x=3/2sint x'=3/2cost. 原式=(1-3/2sint)/3cost*3cost/2 dt= (2-3sint)/4 dt.最后的出来的arcsinx/2+[3√(9-4x^2)]/4+C.始终不知道自己哪里出了问题. 2l写的：=0.5t+0.75cost+C=0.5arcsin2/3x+1/4√9-4x^2+C 我就是这里的问题.当x=1.5sint的时候 cost=根号下9-4^2..那个0.75就是3/4 ,那个分子的3还是没有消掉啊.还请不吝赐教

Answer 1

我的解答如下：
换元法令x=3/2sint,t∈[-0.5π,0.5π]
dx=3/2cost
带入后得到
∫(1-x)/[√(9-4x^2)]dx=∫(1-1.5sint)1.5costdt/3cost
=∫(1-1.5sint)0.5dt
=0.5t+0.75cost+C=0.5arcsin2/3x+1/4√9-4x^2+C
你检查下看你哪部分不小心算错了
你在∫-3sint/4
dt算错了
x=3/2sint
,那么sint=2/3x
cost=√1-(2/3x)^2
cost=√(9-4x^2)]/3
∫-3sint/4
dt=3/4cost=3/4*√(9-4x^2)]/3=[√(9-4x^2)]/4