Question

设a1a2b1b2均是3维列向量，且a1a2线性无关，b1b2线性无关。证明存在非零

Answer 1

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 2

题目是错的，β1，β2应该线性相关：
α1,α2,α3线性无关
且与非零列向量β1，β2均正交（必然也线性无关）
则
向量组α1,α2,α3，β1线性无关
向量组α1,α2,α3，β2线性无关
且有向量组α1,α2,α3，β1，β2线性相关（5个4维列向量，必然线性相关，且秩<=4）
则β1，β2线性相关，否则向量组α1,α2,α3，β1，β2的秩等于5，矛盾！

Answer 3

4个3维向量
a1,a2,b1,b2
必线性相关
所以存在一组不全为0的数使得
k1a1+k2a2+k3b1+
k4
b2
=
0
即有
k1a1+k2a2
=
-k3b1-k4b2
设为
r
则r既可由
a1a
2也可由b1b2线性表出,
且
r
≠
0
(否则由a1a2线性无关，b1b2线性无关,推出
k1=k2=k3=k4=0,
矛盾)