Question

证明下列U或V为调和函数，并求出解析函数f（z）=u+iv u=x/X²+y²？

Answer 1

首先，你题目打错了。u-v就不是
调和函数
。应该是u-v=x^3+3x^2y-3xy^2-y^3令g=(1+i)f，则g=(u-v)+i(u+v)。首先求g，把x和y用z和z的共轭表示。发现u-v=(1-i)z^3的实部。所以g=(1-i)z^3。所以f=-iz^3。所以u=3x^2y-y^3。

Answer 2

u对x的2次偏导数=2,u对y的2次偏导数=-2.所以这两项相加=0,即u满足拉普拉斯方程,u是调和函数.
f(i)=-1+i,
f(z)=z-1=x-1+yi
(x-1)对x偏导数=1
=y对y偏导数;
y对x偏导数=0=-(x-1)对y的偏导数,所以f是z上的解析函数