Question

狭义相对论的两个时空效应

Answer 1

一、前言

本章接着上一章 狭义相对论的数学推导 ，来推导两个在洛伦兹方程的基础上的物理效应，分别是 时间延缓和空间长度收缩效应

二、时间延缓效应的数学推导

我们先来看狭义相对论的 时间效应

假设有两个参考系S和S'，S'相对于S以恒定速度v沿着x轴运动

现有两个在S'参考系中的事件P1和P2在 同一个地点发生 ，我们设P1和P2在S系中的时空坐标为

设P1和P2在S'系中的时空坐标为

由于P1和P2发生在S'系中，我们选择S系作为观察者，来观测P1和P2在S系中的消耗时间。 由洛伦兹方程可知，在S系中看到P1和P2的时间坐标将转化为

我们设S系和S'系中P1和P2发生的时间间隔分别为

我们带入S系中P1和P2的时间坐标，来计算出在S系中观测到P1到P2的时间间隔为

由于P1和P2在S'系中是在同一地点发生 ，即

带入上式化简得

至此，我们推导出了在狭义相对论里， 时间延缓方程 为

这个方程也叫做 时间延缓效应 ，回想一下2014年的美国科幻大片《星际创越》里，宇宙飞船里的人喝一杯水，或者按一个按钮，或者说几句话，而在地球上，却已经经过了好几个月或者好几年！就是这个数学方程的魔力~

三、时间延缓效应的分类讨论

由时间延缓方程可以看出

随着v的不断变大，r因子也将会变大， 时间延缓的效果就越明显

同理，由时间延缓方程可以看出

随着v不断的变小，r因子将无限趋近于1， S系和S'系中同一事件所消耗的时间一致

四、案例一解析

案例一问题：

半人马星座α星是离太阳系最近的恒星，它距离地球大约4.3*10^16m，假设有一个宇宙飞船正以0.999c飞行，问：按地球的时钟计算，飞船往返一次地球需要多少时间？如果以飞船上的时钟计算，往返一次地球又需要对少时间？

案例分析：

飞船相对于地球是运动的，我们可以设飞船属于参考系S'，地球属于参考系S，S'系发生的因果事件为：" 从地球出发到α星，和从α星返回地球 "，这是一个因果事件，显然这个因果事件相对于S'系是静止的，在S'系中是同地点不同时完成该事件

案例解析：

计算结果为：

从结果中可以看出： 对于同一个因果事件—往返地球而言，在地球上的观察者已经过了9年，而对于以0.999c运行的宇宙飞船上的观察者来说，才过了0.4年！

五、长度收缩效应的数学推导

下面我们来看狭义相对论的 空间效应

同理，假设有两个参考系S和S'，S'相对于S以恒定速度v沿着x轴运动

现有一个刚性棒AB静止于S'系中，在S系中 同时 来测量刚性棒的长度，我们设刚性棒的A点和B点在S系中的时空坐标分别为

设A点和B点在S'系中的时空坐标分别为

由于A点和B点的观察测量事件发生在S系中，我们选择S'系作为观察者，来观测A点和B点在S'系中的长度。 由洛伦兹方程可知，在S'系中看到A点和B点的横坐标将转化为

我们设S系和S'系中A点到B点的距离（刚性棒的长度）分别为

我们带入S'系中A点和B点的横坐标，来计算出在S'系中测量到A点到B点的距离为

由于A点和B点的测量是在S系中同时发生的 ，即

带入上式化简得

至此，我们推导出了在狭义相对论里， 长度收缩方程 为：

这个方程也叫做 长度收缩效应

六、长度收缩效应的分类讨论

由长度收缩方程可以看出

随着v的不断变大，1/r因子将会变小， 长度收缩效应就越明显

同理，由长度收缩方程可以看出

随着v不断的变小，1/r因子将无限趋近于1， S系和S'系中测量到同一个物体的长度一致

七、两个相对论效应的总结

推导完时间膨胀和空间收缩方程，我们可以总结出

八、案例二解析

案例二问题：

《星际创越》中科学家来到了米勒星球，是距离电影里卡冈图雅大黑洞最近的一颗星球，求证：科学家在米勒星球上的1个小时等于地球的7年？

案例二分析：

考虑狭义相对论，地球围绕太阳公转的速度为29783m/s，远远达不到光速级别，而米勒星球是距离大黑洞卡冈图雅最近的星球，又没有被卡冈图雅吸入，说明米勒星球已经处于了黑洞视界线的临界处，其公转的速度将远远大于地球的公转速度，时间必将发生膨胀效应

案例二解析：

计算结果为：

从结果中可以看出： 在米勒星球超高速公转的坐标系里，相对于地球，时间膨胀了60000倍，即在米勒星球上完成1小时的因果事件，在地球上却已经历时了7年之多