Question

抽象函数问题的求解策略 抽象函数问题

Answer 1

抽象函数问题的求解策略

函数是每年高考的热点，而抽象函数问题又是函数的难点之一。抽象函数通常是指没有给出具体函数的解析式，只给出了其他一些条件（如函数的定义域、特定点的函数值、解析递推式、特定的运算性质、部分图象特征等）的函数。由于抽象函数没有具体的解析式作为载体，因此理解、研究起来往往比较困难。但因为这类问题对于培养学生的创新实践能力，

增强应用数学意识有着十分重要的作用，所以在近几年成为数学命题的生长点。 对于抽象函数问题，一般是由所给的性质, 讨论函数的单调性、奇偶性、周期性及图象的对称性，或是求函数值、解析式等。因为问题本身的抽象性和性质的隐蔽性，可以利用特殊模型法、函数性质法、特殊化方法、类比联想转化法等从多层面、多角度去分析、研究抽象函数问题。

一、特殊模型法

根据抽象函数的性质，找出一个对应的具体函数模型，再研究它的其它性质。在高中数学中，常见抽象函数所对应的具体特殊函数模型归纳如下：

1f （x ）＝kx （k ≠0）---------------f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ）

例1：已知函数f (x ) 对任意实数x ，y ，均有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ，且当x >0时，f (x ) >0，f (-1) =-2，求f (x ) 在区间[－2，1]上的值域。

解：设x 10，∵当x >0时，f (x ) >0，∴f (x 2-x 1) >0， ∵f (x 2) =f [(x 2-x 1) +x 1]=f (x 2-x 1) +f (x 1) ，

∴f (x 2) -f (x 1) =f (x 2-x 1) >0，即f (x 1)

在条件中，令y ＝－x ，则f (0) =f (x ) +f (-x ) ，再令x ＝y ＝0，则f (0) =2f (0) ， ∴ f (0) =0，故f (-x ) =-f (x ) ，f (x ) 为奇函数，

∴ f (1) =-f (-1) =2，又f (-2) =2f (-1) =-4，

∴f (x ) 的值域为［－4，2］。

2、二次函数型抽象函数

f (x ) =k (x -a ) 2+m ———— f (a +x ) =f (a -x )

二次函数型抽象函数即由二次函数抽象而得到的函数

若抽象函数y =f (x ) 满足x ∈R ，总有f (a +x ) =f (a -x ) ，则可用二次函数y =k (x -a ) 2+m 为模型引出解题思路；

例2：已知实数集上的函数f (x ) 恒满足f (2+x ) =f (2-x ) , 方程f (x ) =0有5个实根,

则这5个根之和=_____________

【分析】：因为实数集上的函数f (x ) 恒满足f (2+x ) =f (2-x ) , 方程f (x ) =0有5个实根，可以将该函数看成是类似于二次函数y =k (x -2) 2为模型引出解题思路，即函数的对称轴是x =2，并且函数在f (2) =0，其余的四个实数根关于x =2对称，

解：因为实数集上的函数f (x ) 恒满足f (2+x ) =f (2-x ) , 方程f (x ) =0有5个实根，所以函数关于直线x =2对称，所以方程的五个实数根也关于直线x =2对称，其中有一个实数根为2，其它四个实数根位于直线x =2两侧，关于直线x =2对称，则这5个根之和为10

3、指数函数型的抽象函数

f （x ）＝a x ------------------- f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）；f （x －y ）＝f (x ) f (y )

1，]例3：设f (x ) 是定义在R 上的偶函数。其图象关于直线y ＝x 对称，对任意x 1，x 2∈[0.

都有f (x 1＋x 2) ＝f (x 1) ·f (x 2) ，且f ( 1 ) ＝a ＞0．

11 (Ⅰ) 求f (及f (； (Ⅱ) 证明f (x ) 是周期函数；

1 (Ⅲ) 记a n =f (2n +) ，求lim (lna n ) ． n →∞

(Ⅰ) 解：可以考虑指数函数的模型指导解题的思路，例如运用函数f (x ) =2x 由f (x 1) +f (x 2) =f (x 1) f (x 2) , x 1, x 2∈[0, 1]知： x x f (x ) =f (f () ≥0，x ∈[0，1] 111111 ∵f (1) =f (+) =f () f () =[f (2，f (1)＝a ＞0，∴f () =a 2 2

1111111∵f (=f (+) =f (f (=[f ()]2，∴f () =a 4 4

(Ⅱ) 证明：依题设y ＝f (x ) 关于直线x ＝1对称，

故f (x ) ＝f (1＋1－x ) ，即f (x ) ＝f (2－x ) ，x ∈R

又由f (x ) 是偶函数知f (－x ) ＝f (x ) ，x ∈R

将上式中－x 以x 代换，得f (x ) ＝f (x ＋2) ，x ∈R

这表明f (x ) 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期．

(Ⅲ) 解：由(Ⅰ) 知f (x ) ＞0，x ∈[0，1] 111111 f () =f (n ⋅) =f +(n -1) ⋅]=f () f [(n -1) ] 1111111=f () f () f [(n -2) ]=f (f () f () =[f ()]n

1 ∴f () =a 2n 2n

11 ∵f (x ) 的一个周期是2，∴f (2n +=f () ，因此a n =a 2n 1 ∴lim (lna n ) =lim (lna ) =0． n →∞n →∞

1111

例4．定义在R 上的函数f (x ) 满足：对任意实数m , n ，总有f (m +n ) =f (m ) ⋅f (n ) ，且当x >0时，0

（1）试求f (0) 的值；

（2）判断f (x ) 的单调性并证明你的结论；

（3）设A ={(x , y ) |f (x 2) ⋅f (y 2) >f (1) }，B =(x , y ) |f (ax -y +2) =1, a ∈R 若A ⋂B =∅，试确定a 的取值范围．

（4）试举出一个满足条件的函数f (x ) ．

解：（1）在f (m +n ) =f (m ) ⋅f (n ) 中，

令m =1, n =0．得：f (1) =f (1) ⋅f (0) ．

因为f (1) ≠0，所以，f (0) =1．

（2）要判断f (x ) 的单调性，可任取x 1, x 2∈R ，且设x 1

在已知条件f (m +n ) =f (m ) ⋅f (n ) 中，若取m +n =x 2, m =x 1，则已知条件可化为：{}f (x 2) =f (x 1) ⋅f (x 2-x 1) ．

由于x 2-x 1>0，所以1>f (x 2-x 1) >0．

为比较f (x 2), f (x 1) 的大小，只需考虑f (x 1) 的正负即可．

在f (m +n ) =f (m ) ⋅f (n ) 中，令m =x ，n =-x ，则得f (x ) ⋅f (-x ) =1．

∵ x >0时，0

∴ 当x 1>0. ． f (-x )

又f (0) =1，所以，综上，可知，对于任意x 1∈R ，均有f (x 1) >0．

∴f (x 2) -f (x 1) =f (x 1)[f (x 2-x 1) =1]

∴ 函数f (x ) 在R 上单调递减．

（3）首先利用f (x ) 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f 的式子．

f (x 2) ⋅f (y 2) >f (1) 即x 2+y 2

f (ax -

y +2) =1=f (0) ，即ax -y =0．

由A ⋂B =∅

，所以，直线ax -y =0与圆面x 2+y 2

≥1． 解得：-1≤a ≤1．

x ⎛1⎫（4）如f (x ) = ⎪． ⎝2⎭

点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令m =1, n =0；以及m +n =x 2, m =x 1等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数

4、对数函数型的抽象函数

f （x ）＝lo g a x （a >0且a ≠1）-----f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ）；f （x ）＝ f （x ）－f （y ） y

例5：已知函数f (x ) 满足定义域在(0, +∞) 上的函数，对于任意的x , y ∈(0, +∞) ，都有f (xy ) =f (x ) +f (y ) ，当且仅当x >1时，f (x )

y （1）设x , y ∈(0, +∞) ，求证f () =f (y ) -f (x ) ； x

（2）设x 1, x 2∈(0, +∞) ，若f (x 1)

（3）解关于x 的不等式f x -(a +1) x +a +1>0

分析：本题是以对数函数为模型的抽象函数，可以参考对数函数的基本性质解题 证明：（1）∵f (xy ) =f (x ) +f (y ) ，∴f () +f (x ) =f (y ) ， ∴f () =f (y ) -f (x )

（2）∵f (x 1)

x 1>1，x 1>x 2 x 2

（3）令x =y =1代入f (xy ) =f (x ) +f (y ) 得f (1) =f (1) +f (1) ，f (1) =0， ∵当且仅当x >1时，f (x ) 1，∴∴关于x 的不等式f x -(a +1) x +a +1>0为f x -(a +1) x +a +1>f (1) ，由

2（2）可知函数f (x ) 在定义域(0, +∞) 上是减函数，∴0

x 2-(a +1) x +a +11时，1

2当a 0成立；当a =1，x ≠1，此时

x 2-(a +1) x +a +1>0成立。

例6：已知函数f (x )对一切实数x ِ、y 满足f (0)≠0，f (x +y )=f (x )⋅f (y ), 且当x 1，则当x >0时f (x )的取值范围是__________。

分析：构造特殊函数f (x )=a x (01；

解：令f (x )=a x ，因当x 1，故00时有0

【评注】借助特殊函数模型铺路是解抽象函数问题的常用处理方法，这样做不仅感到抽象函数并不是无章可循、玄妙莫测，而且为更深入地研究抽象函数打下了良好的基础。

二、特殊化方法

有些抽象函数问题，用常规方法求解很难奏效，或过程十分繁杂，但利用一些特殊的手段，如赋值、反证、逆推等特殊的方法求解，往往会收到事半功倍之效果。

例7．已知函数f (x )对一切x , y ∈R ，都有f (x +y )=f (x )+f (y )。

⑴求证：f (x )在R 上满足f (-x )=-f (x )；

⑵若x >0时，f (x )

分析：令y =-x 时，由f (x +y )=f (x )+f (y )得f (0)=f (x )+f (-x )，显然，我们只要求得f (0)=0即可证得(1)成立，因此赋值x =y =0，即可。

证明：⑴令x =y =0，可得f (0+0)=f (0)+f (0)，即f (0)=0

令y =-x ，可得f (0)=f (x )+f (-x )，故f (x )+f (-x )=0，即f (-x )=-f (x )。 ⑵任取x 1, x 2∈R ，且x 1

f (x 2)-f (x 1)=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2-x 1)

x 2-x 1>0, ∴f (x 2-x 1)

∴f (x 2)-f (x 1)

∴f (x )在R 上是减函数。

【评注】在推理过程中代入一些特殊的自变量，得到一些特殊的函数值，这些特殊的函数值是推理的重要依据。

三、函数性质法

函数的特征是通过函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性、特殊点等）反应出来的，抽象函数也不例外，只有充分挖掘和利用题设条件所表明或隐含的函数性质，灵活进行等价转换，抽象函数问题才能峰回路转，化难为易。常见的解题方法有：①利用奇偶性整体思考；②利用单调性等价转化；③利用周期性回归已知；④利用对称性数形结合等。

例8．已知f (x ) 是定义在R 上的函数，且f (x +2)[1-f (x )]=1+f (x ) .

⑴) 求证：f

(x ) 是周期函数；⑵若f (1)=2f (2001),f (2005)的值。 解：（）由已知1f (x +2) =1+f (x ) ， 1-f (x )

1+f (x )

1f (x ) =-, f (x )

f (x ) 1+1+f (x +2) 1-∴f (x +4) =f (2+(x +2)) ==1-f (x +2) 1-1-f (x +8) =f ((x +4) +4) =-1=f (x ), 周期为

8 f (x +4)

（2）

f (2001)=f (1)=2

f (2005)=f (5)=f (1+4) =-1==-2 f (1)【评注】根据题设条件经有限次的迭代，可得到一些重要结论，如函数的周期性。 抽象函数中的奇偶性

一般地，如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数或偶函数。奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。

例：(1)已知函数f(x)对于任意实数x 、y 满足f(x+y)=f(x)+f(y),判断f(x)的奇偶性。

(2)已知函数f(x)对于任意实数x 、y 满足f(xy)=f(x)+f(y),判断f(x)的奇偶性。

(3)已知函数f(x)对于任意实数x 、y 满足f(x/y)=f(x)-f(y),判断f(x)的奇偶性。

（4) 已知函数f(x)对于任意实数x 、y 满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),(f(0)≠0), 判断f(x)的奇偶性。

解：（1）令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x);再令y=x=0，得f(0)=0；即0=f(x)+f(-x),f(-x)=-f(x)。∴f(x)是奇函数。

（2）令y=-1，得f(-x)=f(x)+f(-1),又f(-1)=0,即f(-x)=f(x)。∴f(x)是偶函数.

(3)令y=-1，得f(-x)=f(x)-f(-1),又f(-1)=0, 即f(-x)=f(x)。∴f(x)是偶函数.

(4)令x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),再令x=y=0,可得f(0)=1,∴f(x)是偶函数.

【点评】:解决此类问题时, 只要根据奇偶函数的定义，并应用赋值法(因x 、y 是任意实数), 就不难解决。 抽象函数中的周期性

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T 叫做这个函数的周期。

常见结论:

（1）f(x+a)=f(x),则T=a(a是非零常数) 。

（2）f(x+a)=-f(x),则T=2a(a是非零常数) 。

（3）f(x+2)=f(2-x), f(x+7)=f(7-x), 则T=10。

例1：已知f(x)为偶函数, 其图象关于x=a(a≠0) 对称, 求证f(x)是一个以2a 为周期的周期函数。

解：∵函数f(x)的图象关于x=a(a≠0) 对称,

∴f(x+2a)=f(-x);

又∵f(x)为偶函数,

∴f(x+2a)=f(x),即T=2a。

例2：设f(x)是R 上的奇函数, 且f(x+3)=-f(x),求f(2004)的值。

解： ∵f(x+3)=-f(x),

∴f(x+6)=f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x),即周期T=6。

又f(x)是R 上的奇函数, 有f(0)=0,从而f(2004)=f(6 334)=f(0)=0。

点评：解决本题的关键是：首先, 由f(x+3)=-f(x),可得6是该函数的一个周期；其次, 若奇函数f(x)在x ＝0处有定义，则必有f(x)=0。

抽象函数中的单调性

一般地，设函数f(x)的定义域为I ：如果对于属于定义域I 内的某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时（x 1＞x 2），都有f(x1) ＜f(x2) （f(x1) ＞f(x2) ），那么就说f(x)在这个区间上是增函数（减函数）。

例：定义在R 上的函数f(x)同时满足条件: (1)f(x+y)=f(x)+f(y),x,y∈R;(2)当x ＞0时,f (x)＜0, 且f(1)=-2。求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值。

解： 由(1)可知f(x)是奇函数; 又因x 1＞x 2＞0时,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x 2) ＜0, 所以f(x)是R 上

的减函数. 因而易得函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值分别是6和-6。 例4 已知偶函数f(x)在[0,+∞]上是增函数，解不等式f(x-1)＞f(1-2x)。

1时，x-1＜0,1-2x ≧0, 由于f(x-1)=f(1-x)，故原不等式即为f(x-1)2

1=f(1-x)，再由f(x)在[0,+∞]上递增, 得x －1>1－2x ，即0＜x ≦。 2解：（1）当x ≦

1＜x ≦1时，x-1≦0，1－2x 0，故原不等式可化为f 2

12(1-x)>f(2x-1)，所以1－x >2x －1，即＜x ＜。 23（2）当

（3）当x >1时，x －1>0，1－2x f(1-2x)=f(2x-1),得x －1>2x －1，即x 1矛盾。

综合(1)、(2)、(3)得原不等式的解为0＜x ＜2。 3

抽象函数中的对称性

对称问题:

（1） 点关于点对称：点（x,y ）关于点（a,b ）对称的坐标为（2a-x,2b-y ）。

（2） 曲线关于点对称：曲线f(x,y)=0关于点（a,b ）对称的曲线f(2a-x,2b-y)=0。

（3） 常见对称：f(-x)=f(x),即函数f(x)关于y 轴对称；f(-x)=-f(x), 即函数f(x)

关于原点(0,0)对称；f(a-x)=f(a+x),即函数f(x)关于直线x=a对称；f(a-x)=-f(a+x),即函数f(x)关于点(a,0)对称。

例：已知f(x)满足f(x+2)=f(2-x), f(x+7)=f(7-x),x,y∈R 。

（1）如f(5)=9, 求f(-5)。

2（2）已知当x ∈[2,7]时, f(x)=(x-2); 求当x ∈[16,20]时, 函数f(x)的表达式。

解(1)方法一：∵f(x+2)=f(2-x)，即f(x)=f(4-x)=f(7-3-x)=f(3+x+7)=f(x+10),T=10∴f(-5)=f(-5+10)=f(5)=9； 方法二：f(-5)=f(2-7)=f(7+2)=f(9)=f(2+7)=f(7-2)=f(5)=9。

(2)由题意知, 函数f(x)关于直线x=2,x=7对称, 且周期T=10. 当x ∈[16,17]时,

22f(x)=(x-12); 当x ∈(17,20)时, f(x)=(x-22)。

总之，在解决抽象函数问题时，往往不是去考虑如何求这个函数的表达式，而是应设法利用这个函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性、对称性等去把问题解决，倘若能利用数形结合的方法（如例3、例5）, 则抽象问题又会变得更加具体形象, 更有利于问题的解决。

一、已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域，

其解法是：若f (x )的定义域为

范围即为f [g (x )]的定义域。 ，则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ，从中解得的取值

例1. 设函数f (x )的定义域为[0, 1]，则

（1）函数f x 的定义域为________。 ()2

（2）函数f x -2的定义域为__________。 )

2解：（1）由已知有0≤x ≤1，解得-1≤x ≤1

故f x 的定义域为[-1, 1] 2()

（2）由已知，得0≤x -2≤1，解得4≤x ≤9

故f x -2的定义域为[4, 9] )

二、已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域。

其解法是：若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域。

例2. 已知函数y =f lg (x +1)的定义域为0≤x ≤9，则y =f (x )的定义域为________。 解：由0≤x ≤9，得1≤x +1≤10

所以0≤lg (x +1)≤1，故填[0, 1] []

三、已知f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域。

其解法是：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域。

例3. 函数y =f (x +1)定义域是[-2, 3]，则y =f (2x -1)的定义域是（ ） A. ⎢0, ⎥ B.[-1, 4] C.[-5, 5] D.[-3, 7] 2⎡5⎤⎣⎦

解：先求f (x )的定义域

f (x +1)的定义域是[-2, 3]

-2≤x

≤3

1≤x +1≤4，即

f (x )的定义域是[-1, 4]

再求f [h (x )]的定义域

-1≤2x -1≤4

⎡5⎤f (2x -1)的定义域是⎢0, ⎥，故应选A ⎣2⎦

四、运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。

例4. 已知函数f (x )的定义域是(0, 1]，求g (x )=f (x +a )⋅f (x -a ) -

域。 解：由已知，有

⎛1⎫＜a ＜0⎪的定义⎝2⎭

，即

函数的定义域由确定

总之，因为抽象函数与函数的单调性、奇偶性等众多性质联系紧密，加上本身的抽象性、多变性，所以问题类型众多，解题方法复杂多变. 尽管如此，以特殊模型代替抽象函数帮助解题或理解题意，是一种行之有效的教学方法，它能解决中学数学中大多数抽象函数问题. 这样做符合学生的年龄特征和认知水平，学生不仅便于理解和接受，感到实在可靠，而且能使学生展开丰富的想象，以解决另外的抽象函数问题.

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