Question

定积分ln(1+x)dx

Answer 1

问：定积分ln(1+x)dx

答：亲，您好很高兴为您解答定积分ln(1+x)dx使用分部积分法，令：$u=ln(1+x) \Rightarrow du=\frac{1}{1+x}dx$$dv=dx \Rightarrow v=x$根据分部积分公式，有：$\int ln(1+x)dx=xln(1+x)-\int\frac{x}{1+x}dx$对于$\int\frac{x}{1+x}dx$，可以使用换元法，令：$t=1+x \Rightarrow dt=dx$将$t=1+x$代入$\int\frac{x}{1+x}dx$中，有：$\int\frac{x}{1+x}dx=\int\frac{t-1}{t}dt=\int(1-\frac{1}{t})dt=t-ln|t|+C=t-ln|1+x|+C'$将得到的结果代入上式，有：$\int ln(1+x)dx=xln(1+x)-t+ln|t|+C=xln(1+x)-(1+x)+ln|1+x|+C'$化简得：$\int ln(1+x)dx=xln(1+x)-x+ln|1+x|+C$因此，定积分$\int_{0}^{1}ln(1+x)dx$的结果为：$\int_{0}^{1}ln(1+x)dx=ln2-1$。

答：拓展补充：定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限哦。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系哦。