Question

设A是所有n阶实数方阵组成的集合，对于矩阵的加法“+”和矩阵的乘法“×”，证明(A，+，×)是环。

Answer 1

【答案】：[证明]首先证明(A，+)是可交换群。
显然，两个n阶实数方阵相加后，仍然是n阶实数方阵，所以矩阵加法对于A是封闭的。
矩阵加法满足结合律和交换律。
n阶零阵是幺元。
n阶实数方阵a的逆元是-a。
所以(A，+)是可交换群。
由于两个n阶实数方阵的乘积是n阶实数方阵，所以矩阵的乘睁大法对于A是封闭的。
矩阵的扰早闭乘法满足结合律。
所以(A，×)是半群。
矩阵的乘法对于矩阵的加法运算是可分配的，由此证得(A，缓裂+，×)是环。