Question

设正实数a、b、c、d、满足(+a+++c+)(b++d+)=+a+c++b+d,求a/+b++b/+c++c+/d++d

Answer 1

问：设正实数a、b、c、d、满足(+a+++c+)(b++d+)=+a+c++b+d,求a/+b++b/+c++c+/d++d

答：我们可以先将等式简化并观察。已知：(a + c)(b + d) = a + c + b + d=> ab + ad + cb + cd = a + b + c + d我们可以将等式重新组织，使之以a、b、c、d的组合形式出现：=> (ab + ad) + (cb + cd) = (a + b) + (c + d)我们可以通过因式分解进一步简化：=> a(b + d) + c(b + d) = (a + b) + (c + d)由于a、b、c、d都是正实数，我们可以安全地除以(b + d)：=> a + c = (a + b) + (c + d) / (b + d)我们的目标是求：a/b + b/c + c/d + d/a这个表达式可以写成：(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) / (ab + bc + cd + da)为了计算这个值，我们需要找到分子和分母之间的关系。我们可以从上面的等式中解出b + d，然后将其代入目标表达式：a + c = (a + b) + (c + d) / (b + d)=> (b + d)(a + c) = (a + b) + (c + d)=> b + d = ((a + b) + (c + d)) / (a + c)现在，我们将这个关系代入目标表达式：(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) / (ab + bc + cd + da) = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) / (a(b + d) + cd)由于我们已经知道b + d = ((a + b) + (c + d)) / (a + c)，我们可以将其代入上面的等式：(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) / (a((a + b) + (c + d)) / (a + c) + cd)通过简化，我们可以得到：(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) / (a^2 + ab + ac + ad + bc + cd) = a/b + b/c + c/d + d/a这个等式是恒等的，所以a/b + b/c + c/d + d/a在给定的条件下对于所有的正实数a、b、c、d都成立。