Question

e为什么是自然常数？

Answer 1

自然常数e（也叫自然底数、自然对数的底、Euler数、Napier常数……）的本质，是“单位循环模”。概念之一：常数e的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。

自然对数的底e是由一个重要极限给出的。我们定义：当n趋于无穷大时，e是一个无限不循环小数，其值约等2.718281828459…，它是一个超越数。以下这个极限公式也是e的定义之一。

e这个数字之所以非常特殊，在于三点：

• 以e为底的对数ln(x)的导数是1/x。

• 它的指数函数e^x是唯一一个除零函数外与自身导数相等的函数。

• 欧拉公式，即e^(i*pi)+1 = 0。
  

所以说很多时候，以e为底的对数和e的指数函数会有一些特殊的性质，在自然科学中有很多的应用。

我认为这里的“自然”指的是“自然科学”，而不是“自然界”

欧拉公式：

这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数，以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数。它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。e的数值约为（小数点后100位）：“e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274”。

e本身不过是一个数字，重要的是指数函数,  常系数线性微分方程可以用多个指数函数叠加(虚指数函数表现为三角函数)来求解。

自然常数e（也叫自然底数、自然对数的底、Euler数、Napier常数……）的本质，是“单位循环模”。至于其数值（2.71828），那不过是它在十进制计数法下的表象（若是二进制，则是10.10110；若是四进制，则是2.23133；若是八进制，则是2.55760；若是十六进制，则是2.b7e13……）。

 “单位循环模”是“归一化对偶分解&合成”，即：恒等对偶分解&合成（对偶分解/微分&合成/积分的结果保持不变）。如：投影的投影不改变投影（正交分解的正交分解不改变正交分解）、幂等变换（海岸线的分形仍是海岸线）、具有操作不变性的操作（我怕我爸，我爸怕我爷，我爷怕我太爷）、流形的Killing矢量场、李群的李代数、李代数的左不变矢量场LIVF……

 自然常数e是“单位循环模”。凡是内蕴了“单位循环模”特征的事物，都可以用e来建模，就是说：凡是兼具“个体增长稳定性（上同调）”和“群体增长收敛性（同调）”的事物，都可以用e来建模，即：指数族分布EFD（Exponential FamilyOf Distributions）（如：Gauss分布、Bernoulli分布、二项分布、Poisson分布、Beta分布、Dirichlet函数、Gamma函数……）。

 自然常数e的数值（2.71828）只是“单位循环模”在数域（Number Field）的表象，其本质是“恒等对偶分解&合成”。该现象是Leonhard Euler在267年前发现的（1752年），他把它概括为“Euler恒等式（Euler’s Formula）”。其中：e表示“对偶分解&合成”，pi表示“循环模”和“自由模”的关联，虚数符号i表示“映射关系”，数字1表示“恒等映射”。

 Euler在构造“Euler恒等式”时，完全不在乎e和pi的数值是多少，更不在乎它俩叫什么（自然常数？or自然底数？圆周率？or圆周比？），他只关心怎样把该发现（恒等对偶分解&合成）精确、清晰、简洁地表达出来。他做到了。

自然常数e之所以“自然natural”，是因为“恒等对偶分解&合成”是许多自然动态系统（菌群生长、银行复利、高压气旋、行星轨道、客服系统……）的内生特征，这些自然动态系统是兼具“生长性”和“稳定性”的“对偶系统（Dual System）”。

 Euler发明的“自然常数e”，是数学概念，更像物理概念。其中蕴含的对偶思想，成为成就此后众多数理发现的火种。Euler之前有伟大的Galileo、Newton、Leibniz……他之后有伟大的Gauss、Galois、Cauchy……

这里以一个银行存款的例子简单描述一下：
我们在银行存款是有利息的，而存款赚到的利息又可以继续和本金一起，赚取更多的利息。当然，银行不是慈善家，它们结算利息的频率很低，要每一年甚至三年才结算一次，也就是说，在这一年或者三年的时间里，已经获得的利息并不能帮我们赚取更多利息。
下面考虑一种理想状况，也就是假定有这样一家银行，它一年的存款利率是100% (简记为1)，并允许我们自由选择结算利息的次数。如果我们存入银行1块钱，那么我们一年最多能够赚多少钱呢？  (1) 如果只在年底结算一次利息，由于一年的利率是1，那么一年后我们可以连本带利得到2块钱。

(2) 如果我们要求每半年就结算一次利息，由于半年的利率是1/2，那么一年后我们可以连本带利得到2.25块钱。

(3) 如果我们要求每一个月就结算一次利息，由于一个月的利率是1/12，那么一年后我们可以连本带利得到2.61块钱。

(4) 可以看到，利息结算次数越多，年底获得的收入也就越多。如果我们脑洞大开，要求银行时时刻刻为我们结算利息，也就是说结算利息的次数为无数次，那么我们能否得到无穷无尽的收入，实现数钱数到手抽筋的梦想呢？

很遗憾，这个是不可能的！因为我们最终获得的收入其实就是下面这个式子，

而数学家的计算已经表明，这个式子的值其实是有限的，其大小为2.718281828…，是一个无限不循环小数，为了使用方便，我们就用e来代表它。所以，e就是复利的极限，或者更广义地说，应该是增长的极限。