Question

一道初中数学竞赛问题

已知p为大于2的质数，K为正整数，方程x^2+px+(k+1)p－4=0的两根至少有一根为整数，求k
（2010年全国初中数学联赛 4月11日）

Answer 1

解：∵ 一元二次方程有两个根
∴ △＝p²－4[（k＋1）p－4]≥0
∴ p²－4（k＋1）p＋16≥0 （1）
令y＝p²－4（k＋1）p＋16
要使（1）恒成立，也即要使y≥0恒成立
只有关于p的方程p²－4（k＋1）p＋16＝0有两相同的解惑无解时
才成立，也即 [－4（k＋1）]²－4×16≤0 （2）成立时才行
解（2）得－3≤k≤1
∵k是正整数
∴k＝1
将k＝1代入原一元二次方程得x²＋px＋2p－4＝0 （3）
解（3）得x＝－2或x＝－p＋2
符合原方程的至少有一个根为整数的条件
因此k=1

如有疑问，希望多加交流！

Answer 2

K值为1
取P的具体数值带入进去，然后用判别式确定K的值，最后在检验一遍就行了。

Answer 3

K=1
可以把P当做一个数，任意一个大于2的质数，再求K

Answer 4

k=1