Question

怎么证明矩阵A与矩阵A的转置矩阵的特征值相同

怎么证明矩阵A与矩阵A的转置矩阵的特征值相同

Answer 1

设矩阵A经过初等行变换之后，化为上三角矩阵B，则A等价于B
矩阵A'经过初等列变换之后，可化为下三角矩阵C，则A'等价于C
显然，B的转置矩阵B'=C
因为，转置之后对角线上的元素不变，所以，B和C的对角线元素相等。
因为，三角形行列式的值等于对角线上元素的乘积
又因为，|λI-A|=|λI-B|=对角线上元素的乘积，
|λI-A'|=|λI-C|=对角线上元素的乘积
所以，|λI-A|=|λI-A'|
所以，矩阵A与矩阵A的转置矩阵的特征值相同

Answer 2

利用特征多项式去证明。特征值是特征多项式的根，如果两个矩阵的特征多项式相等，则特征值相同。

A的特征多项式为 det（A-λI）

A’表示A的转置矩阵，

A’的特征多项式为 det（A’-λI）

det（A’-λI）= det（A’-（λI）'）= det（（A-λI）'）=det（A-λI）

注解：
1. A的特征多项式也可以写成det（λI-A），二者其实只有符号差别，对A的特征值没有影响。
2. 其中λ表示A的特征值，I表示单位矩阵。