Question

苏教版高二理科数学题 求解

在棱长为1的正四面体ABCD中 E为AD的中点 则CE与平面BCD所成的角正弦值为？
希望尽量用空间直角坐标系解答 其他解法亦可

Answer 1

呃 没图不知道你能不能看懂
我尽量说详细一点

先按下面的步骤画辅助线:（一定要照着画啊 不然你就搞不清楚了= =）
首先 作BC中点M 连接BE、EM、MD
过E 做EH垂直MD于H

则，在等腰三角形EBC中，BE=EC，EM是BC边上的中线，因此EM垂直于BC
在等边三角形BCD中，DM是BC边上的中线，因此DM垂直于BC
因此，BC即垂直于EM又垂直于DM。因此BC垂直于面EMD。因此BC垂直于这个面上的任意一条线。因此BC垂直于EH。
又因为你作的是EH垂直于MD。所以EH即垂直于MD又垂直于BC。所以EH垂直于面BCD。
所以CE与平面BCD所成的夹角就是角ECH。
所求正弦值为EH/EC

易知正三角形ACD中，中线EC=二分之根号三
接着求EH

连接AM 有AM=MD
因此等腰三角形AMD中 ME是AD边上的中线 所以ME垂直于AD。
所以有直角三角形MED中，ME垂直于ED。
所以EH是MD边上的高。
易知 直角三角形MED相似于直角三角形EHD（我是对应角写的，你要照着图看）
所以有：EH/ED=ME/MD
即：EH=ME/MD*ED
在直角三角形MEC中 易知
ME的平方=（二分之根号三）的平方-二分之一的平方=二分之一
所以ME=二分之根号二
正三角形BCD中 中线MD=二分之根号三；ED=二分之一

因此EH=二分之根号二/二分之根号三*二分之一=六分之根号六

所以所求的正弦值=EH/EC=六分之根号六/二分之根号三=三分之根号二

完了。 不知道你看懂没有= =

Answer 2

我觉得第一位那位小同学就解的很好啊