Question

被积函数定义域问题 求助

在求不定积分时,有的函数应用三角代换会比较简便,但是有时候被积函数定义域有的大于所设的三角函数的值域,如根号下X^2-1,设X=sect (0<t<i\pi/2), 如果设0<t<pi/2 或pi/2<t<pi则三角函数值域与被积函数定义域相同,但是很多几乎所有参考书上都只讨论第一种t的情况,将第二种情况忽略,这是怎么回事呢? 在网上查了半天资料,发现维普网上这篇文章《几个不定积分计算问题的教学体会》(作者:相秀芬)可能讲这个问题的,无奈没有账号不能阅读,如果哪位仁兄还在学校内,有免费上维普网的条件的话,麻烦下载这篇文章贴出来。另有维普网上《对一类不定积分的讨论》(作者任建敏,李强)也好像在讨论这个问题。多谢

Answer 1

对于你提的这个问题,我发表一下我的看法: 对于不定积分中的三角代换,通常是有它的一个默认的值域.如asin范围为 [-pi/2~pi/2] ,acos范围为 [0~pi]. atan范围为(-pi/2~pi/2)等等 而对于定积分来说,通常代换后自变量的范围也是属于以上不定积分代换中的范围的.这样的目的一是简单,当然也是正确的.二是方便.(事实上,在上述求解的范围后面加上2pi的若干倍也是可以求的,而且结果是和以上一样.只是代换中麻烦了很多.不妨你试一下)

Answer 2

更正一下,考虑后一个区间时算出的不定积分没有错,是我一时疏忽计算错的。造成不便请谅解。