Question

第三题，求大神解答

Answer 1

f(x)=[(x+1)²+sinx]/(x²+1)=1+(2x+sinx)/(x²+1)
记g(x)=(2x+sinx)/(x²+1)，设g(x)的最大值为T，最小值为t
则M=1+T，m=1+t，∴M+m=2+T+t
注意g(-x)=-g(x)，∴g(x)是奇函数
设g(a)=T≥g(x)，对任意x∈R成立，
则-g(a)≤-g(x) => g(-a)≤g(-x)，∴g(-a)为其最小值t
∴T+t=g(a)+g(-a)=g(a)-g(a)=0
即M+m=2。

Answer 2

f(x)=[(x+1)²+sinx]/(x²+1)=1+(2x+sinx)/(x²+1)
记g(x)=(2x+sinx)/(x²+1)，设g(x)的最大值为T，最小值为t
则M=1+T，m=1+t，∴M+m=2+T+t
注意g(-x)=-g(x)，∴g(x)是奇函数
设g(a)=T≥g(x)，对任意x∈R成立，
则-g(a)≤-g(x) => g(-a)≤g(-x)，∴g(-a)为其最小值t
∴T+t=g(a)+g(-a)=g(a)-g(a)=0
即M+m=2