Question

在四边形ABCD中,AD平行BC,AB=DC,对角线AC,BD交于点O

在四边形ABCD中,AD平行BC,AB=DC,对角线AC,BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB,BC,CD,DA的中点。
（1)求证，四边形EFGH是正方形。
（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。

PS：图可能不怎么准~

Answer 1

1、证明：在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，AB=DC
∴AC=BD
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
∴EF、GH、FG、EH分别是△ABC,△DAC,△BCD和△ABD的中位线
∴EF=GH=1/2AC FG=EH=1/2BD EF∥GH∥AC FG∥EH∥BD
∴EF=GH=FG=EH
∴四边形EFGH为菱形
∵AC⊥BD
∴EF⊥FG
∴四边形EFGH为正方形
2、

过D点做DM∥AC，交BC 的延长线与M点
∴四边形ACMD为平行四边形
∴AC=DM AD=CM=2
∵AC=BD，AC⊥BD
∴△BDM为等腰直角三角形
∴BM=BC+CM=6
∴AC=3√2
∵EF=1/2AC
∴EF=(3√2)/2
∴正方形EFGH的面积=[(3√2)/2]²=4.5
本题主要考察了三角形中位线定理、特殊四边形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等几何知识。

请采纳，谢谢