Question

已知函数f(x)对任意的x,y∈R都有f(x)十f(y)=f(x十y)且当×>0时

f(x)<0，f(-1)>2。
1，求证f(-x)=-f(x)
2，求证f(x)在R上是减函数
3，求函数f(x)在-3到3上的最大值和最小值

Answer 1

1,f(0)+f(0)=f(0+0)=f(0),∴f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,∴ f(-x)=-f(x)
2,设x＞y，则x-y＞0，f（x-y）＜0，f（x）=f（y+x-y）=f(y)+f（x-y）＜f(y),
∴ f(x)在R上是减函数
3,∵f(-3)=f（-2-1）=f(-2)+f(-1)=f（-1）+f（-1）+f（-1）=3f（-1）=6，
f（3）=-f（-3）=-6，∵ f(x)在R上是减函数，∴ 函数f(x)在-3到3上的最大值为6，最小值为-6

追问

谢谢！

Answer 2

1. 令y=x=0,f（0）+f(0)=f(0)    f(0）=0

   令y=-x    f(x)十f(-x)=f(x-x)=f(0)=0    所以f(-x)=-f(x)

2. 因为奇函数，只需证明（0，+∞）递减

1. 任意取x1>x2>0  令x=x1,y=x2-x1代入

f(x)十f(y)=f(x十y),得f(x1)+f(x2-x1)=f(x2)   

f(x1)-f(x2)=-f(x2-x1)=f(x1-x2)

因为x1-x2>0 根据x>0 f(x)<0得 f(x1-x2)<0

所以f(x1)<f(x2)  减函数。又因为在0有定义。所以R上是减函数

  3.因为减函数f(x).所以f(3)是最小值，f(-3)是最大值

你这里打错了f(-1)=2 ,所以f(1)=-2

f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-6

f(-3)=-6       ㊣㊪答题。

Answer 3

Answer 4

这样可以么？