Question

已知函数f(x)＝(log2x)2?2log12x+1，g(x)＝x2-ax+1（1）求函数y=f（2cosx-1）的定义域；（2）若存在a∈R

已知函数f(x)＝(log2x)2?2log12x+1，g(x)＝x2-ax+1（1）求函数y=f（2cosx-1）的定义域；（2）若存在a∈R，对任意x1∈[18，2]，总存在唯一x0∈[-1，2]，使得f（x1）=g（x0）成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由题意可得，2cosx-1＞0，解cosx＞

1

2

，解得2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

，k∈z，
∴函数y=f（2cosx-1）的定义域为{x|2kπ-

π

3

＜x＜2kπ+

π

3

，k∈z}；
（2）f（x）=（log₂x）²-2log

1

2

x+1=（1+log₂x）²，
∵x∈[

1

8

，2]，
∴-3≤log₂x≤1，
∴函数f（x）的值域为[0，4]，
∵存在a∈R，对任意x1∈[

1

8

，2]，总存在唯一x₀∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₀）成立，
∴[0，4]?{y|y=x²-ax+1（-1≤x≤2）}，且对任意y∈[0，4]，总存在唯一x₀∈[-1，2]，使得y=g（x₀），
①当

a

2

≤?1时，则有

g(?1)＝a+2≤0 g(2)＝5?2a≥4

，解得a≤-2；
②当

a

2

≥2时，则有

g(?1)＝a+2≥4 g(2)＝5?2a≤0

，解得a≥4；
③当-1＜

a

2

＜2时，

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