Question

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（xy）=f（x）-f（y）．（1）求f（1）的值；（2）解不等式：f

若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（xy）=f（x）-f（y）．（1）求f（1）的值；（2）解不等式：f（x-1）＜0；（3）若f（2）=1，解不等式f（2x+1）-f（23-2x）＜2．

Answer 1

（1）令x=y=1，则有f（1）=f（1）-f（1）=0；
（2）∵f（x-1）＜0=f（1），
又f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数
∴x-1＜1
解得0＜x＜2，
故不等式的解集为（0，2）
（3）令x=4，y=2，则有f（2）=f（4）-f（2）；
∴f（4）=2f（2）=2，
∵f（2^x+1）-f（2^3-2x）＜2．
∴f（2^x+1÷2^3-2x）＜f（4）．
∴f（2^3x-2）＜f（4）．
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴2^3x-2＜2²，
∴3x-2＜2，
解得0＜x＜

4

3

故不等式的解集为：（0，

4

3

]．