Question

设函数f（u）具有二阶连续导数，z=f（excosy）满足?2z?x2+?2z?y2＝(4z+excosy)e2x．若f（0）=0，f′（0）

设函数f（u）具有二阶连续导数，z=f（excosy）满足?2z?x2+?2z?y2＝(4z+excosy)e2x．若f（0）=0，f′（0）=0，求f（u）的表达式．

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

设u=e^xcosy，则z=f（u）=f（e^xcosy），

?z

?x

＝f’(u)excosy，

?2z

?x2

＝f’’(u)e2xcos2y+f’(u)excosy

?z

?y

＝?f’(u)exsiny，

?2z

?y2

＝f’’(u)e2xsin2y?f’(u)excosy
所以：

?2z

?x2

+

?2z

?y2

＝f’’(u)e2x＝f’’(excosy)e2x

由条件

?2z

?x2

+

?2z

?y2

＝(4z+excosy)e2x，
可知：f’’（u）=4f（u）+u
这是一个二阶常系数线性非齐次方程．
对应齐次方程的通解为：f(u)＝C1e2u+C2e?2u其中C₁，C₂为任意常数．
对应非齐次方程特解可求得为y*＝?

1

4

u．
故非齐次方程通解为f(u)＝C1e2u+C2e?2u?

1

4

u．
将初始条件f（0）=0，f'（0）=0代入，可得C1＝

1

16

，C2＝?

1

16

．
故：f（u）的表达式为f(u)＝

1

16

e2u?

1

16

e?2u?

1

4

u．