Question

已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值为a．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若p，q，r为正实数，且p+q+r=

已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值为a．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：∵f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
∴f（x）_min=3，即a=3．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，a=3，
因为p²+q²≥2pq，p²+r²≥2pr，q²+r²≥2qr，
∴2（p²+q²+r²）≥2pq+2pr+2qr，
∴3（p²+q²+r²）≥p²+q²+r²+2pq+2pr+2qr=（a+b+c）²=3²=9，
∴p²+q²+r²≥3．