Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，D为BC中点．（Ⅰ）求证：A1B∥

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，D为BC中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求证：C1A⊥B1C．（Ⅲ）若AC=2，求点C到平面C1AD的距离．

Answer 1

证明：（I）连接A₁C交C₁A与点O，连接DO
∵ACC₁A₁均为正方形∴点O为A₁C的中点
而D为BC中点∴DO∥A₁B
而A₁B?平面ADC₁，DO?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁；
（II）由（I）可知C₁A⊥A₁C，而AB⊥平面ACC₁A₁，
而C₁A?平面ACC₁A₁，则AB⊥C₁A，而A₁B₁∥AB
∴A₁B₁⊥C₁A而A₁B₁∩A₁C=A₁，
∴C₁A⊥平面A₁B₁C，而B₁C?平面A₁B₁C
∴C₁A⊥B₁C．
（III）根据题意可知CC₁⊥面ABC，
S_△ACD=1，AC₁=2

2

，AD=

2

，C₁D=

6

∴S_△AC1D=

1

2

×

2

×

6

=

3

设点C到平面C₁AD的距离为d
V_C-C1AD=V_C1-CAD=

1

3

×1×2=

1

3

×

3

×d
解得：d=